Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
8) sumk=0^infty 2^2 k3^3 k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=0^infty2^2k3^3k
e, caso ela converja, calcular sua soma. O conteúdo que vamos usar é o teste e a fórmula da soma para séries geométricas.

Passo 2

Observe que
2^2k3^3k =gl(2^23^3gr)^k =gl(427gr)^k
Isso mostra que nossa série é uma série geométrica de primeiro termo
a=l(tfrac427r)^0=1 e razão
r=tfrac427.

Passo 3

Pelo critério da série geométrica, ela converge se, e somente se,
|r|<1
Aqui |r|=|tfrac427|=tfrac427<1, logo a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica com primeiro termo a e razão r tal que |r|<1, a soma é
sumk=0^inftya,r^k=a1-r
No nosso caso a=1 e r=tfrac427.

Passo 5

Substituindo na fórmula da soma,
sumk=0^infty2^2k3^3k =11-tfrac427 =1tfrac2327 =2723

Resposta

A série converge e
sumk=0^infty2^2k3^3k=2723

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