Determine os limites das seguintes sequiências:
(14) lim n infty n^sen(pi / n)

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = n^sinl(tfracpi nr)
quando ntoinfty. Vamos usar as ferramentas de limites de sequências, em particular o fato de que se ln(an) tende a um valor finito, então an tende a e elevado a esse valor.

Passo 2

Definimos
elln = ln(an) = sin!l(tfracpi nr),ln n
Calcular o limite de elln será mais fácil do que lidar diretamente com an.

Passo 3

Para n grande temos tfracpi nto0 e a expansão sin xsim x
sin!l(tfracpi nr)=pi n + o!l(1nr)
Logo
elln = sin!l(tfracpi nr),ln n = pi n,ln n + o!l(ln nnr)
Mas é clássico que
limntoinftyln nn = 0,
portanto ellnto0.

Passo 4

Como elln = ln(an)to0, então
an = e^elln ;longrightarrow; e^0 = 1

Resposta

limntoinftyn^sin(pi/n) = 1

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