Determine os pontos críticos da função
e classifique-os:
Passo 1
O exercício pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=(x²+y²)e^{y²−x²}. O conteúdo envolve derivadas parciais, sistema ∇f=0 e teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f. Usando produto e cadeia, obtemos:
Passo 3
Para pontos críticos, resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0. Como e{y2-x^2}>0 sempre, os fatores que anulam são:
Passo 4
Da segunda equação segue y=0 (pois 1+(x2+y2)>0). Substituindo y=0 na primeira:
Passo 5
Logo os pontos críticos são (0,0), (1,0) e (−1,0).
Agora calculamos as segundas derivadas para o teste da Hessiana. Os valores nos pontos são:
Agora calculamos as segundas derivadas para o teste da Hessiana. Os valores nos pontos são:
Passo 6
No ponto (0,0): f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0. A Hessiana vale H=2·2−0²=4>0 e f_{xx}>0, indica mínimo local.
Passo 7
No ponto (1,0): f_{xx}=-4e^{-1}, f_{yy}=4e^{-1}, f_{xy}=0. A Hessiana vale H=(-4e{-1})(4e{-1})−0²<0, indica ponto de sela.
Passo 8
No ponto (−1,0): pelos mesmos cálculos de (1,0) temos H<0, também sela.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0), que é mínimo local, e (1,0) e (−1,0), que são pontos de sela.