Determine os pontos críticos da função f e classifique-os:
f(x, y)=(x^2+y^2) e^y^2-x^2

Passo 1

O exercício pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=(x²+y²)e^{y²−x²}. O conteúdo envolve derivadas parciais, sistema ∇f=0 e teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Usando produto e cadeia, obtemos:
fx=partialpartial xl((x^2+y^2)e^y^2-x^2r)=2x e^y^2-x^2(1-(x^2+y^2)),
fy=partialpartial yl((x^2+y^2)e^y^2-x^2r)=2y e^y^2-x^2(1+(x^2+y^2))

Passo 3

Para pontos críticos, resolvemos o sistema f_x=0 e f_y=0. Como e{y2-x^2}>0 sempre, os fatores que anulam são:
2x(1-(x^2+y^2))=0,
2y(1+(x^2+y^2))=0

Passo 4

Da segunda equação segue y=0 (pois 1+(x2+y2)>0). Substituindo y=0 na primeira:
2x(1-x^2)=0implies x=0 ou x^2=1

Passo 5

Logo os pontos críticos são (0,0), (1,0) e (−1,0).
Agora calculamos as segundas derivadas para o teste da Hessiana. Os valores nos pontos são:

Passo 6

No ponto (0,0): f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0. A Hessiana vale H=2·2−0²=4>0 e f_{xx}>0, indica mínimo local.

Passo 7

No ponto (1,0): f_{xx}=-4e^{-1}, f_{yy}=4e^{-1}, f_{xy}=0. A Hessiana vale H=(-4e{-1})(4e{-1})−0²<0, indica ponto de sela.

Passo 8

No ponto (−1,0): pelos mesmos cálculos de (1,0) temos H<0, também sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), que é mínimo local, e (1,0) e (−1,0), que são pontos de sela.

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