Seja f(x, y)=y^3+3 x^2 y-6 x^2-6 y^2+2.
Determine o plano tangente ao gráfico da função f no ponto (1,1,-6).

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=y^3+3x^2y-6x^2-6y^2+2 e queremos o plano tangente ao gráfico z=f(x,y) no ponto (1,1,-6). Para isso usamos a fórmula do plano tangente: z=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: fx(x,y)=partialpartial x(y^3+3x^2y-6x^2-6y^2+2)=6xy-12x, fy(x,y)=partialpartial y(y^3+3x^2y-6x^2-6y^2+2)=3y^2+3x^2-12y

Passo 3

Avaliamos em (1,1): fx(1,1)=6cdot1cdot1-12cdot1=-6, fy(1,1)=3cdot1^2+3cdot1^2-12cdot1=-6 e f(1,1)=1+3-6-6+2=-6.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente: z=-6+(-6)(x-1)+(-6)(y-1) Ao simplificar obtemos z=-6x-6y+6.

Resposta

z = -6x - 6y + 6

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