Determine a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{n}\Bigr)^{n}.
O conteúdo principal aqui é o teste da raiz para séries de termos não negativos. Vamos definir a_n=(3/n)^n e aplicar esse teste.

Passo 2

Observamos que todo termo
a_n = \Bigl(\frac{3}{n}\Bigr)^{n}
é positivo e que, para usar o teste da raiz, precisamos calcular
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.

Passo 3

Calculemos a raiz enésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{3}{n}\Bigr)^{n}} = \frac{3}{n}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n} = 0.

Passo 4

Como o teste da raiz diz que se
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} < 1,
então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, logo a série \sum_{n=1}^{\infty}(3/n)^n converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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