A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} converge ou diverge? Use o teste da raiz.

Passo 1

O enunciado pergunta se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}
converge ou diverge, usando o teste da raiz. O teste da raiz diz que, para a_n\ge0, definindo
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},
se L<1 a série converge, se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos a_n = \bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^n. Vamos calcular
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n} = \frac{n}{n+1}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = 1.
Como L=1, o teste da raiz é inconclusivo.

Passo 4

Quando o teste da raiz falha L=1, podemos recorrer ao teste do termo geral: uma série só pode convergir se a_n\to0. Calculamos
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac1{n+1}\Bigr)^{n} = e^{-1}\neq 0.
Como a_n não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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