Verifique se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
e pede para verificar se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. O conteúdo necessário envolve dois testes de convergência de séries:
Teste de convergência absoluta (ver se \sum|a_n| converge).
Essa é a famosa série harmónica, que sabemos divergir (por exemplo, pelo teste da integral ou pela comparação com uma série-p). Logo, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Teste de convergência condicional pela série alternante (critérios de Leibniz). Tome a_n = 1/n. Observamos que:
a_n>0 para todo n.
a_n é decrescente, pois \tfrac1{n+1}<\tfrac1n.
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\tfrac1n=0.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente (Passo 2) mas converge pelo teste alternante (Passo 3), concluímos que ela converge condicionalmente.