Verifique se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
e pede para verificar se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. O conteúdo necessário envolve dois testes de convergência de séries:
  1. Teste de convergência absoluta (ver se \sum|a_n| converge).
  2. Teste da série alternante (critérios de Leibniz).

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Vamos analisar
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Essa é a famosa série harmónica, que sabemos divergir (por exemplo, pelo teste da integral ou pela comparação com uma série-p). Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Teste de convergência condicional pela série alternante (critérios de Leibniz). Tome a_n = 1/n. Observamos que:
  1. a_n>0 para todo n.
  2. a_n é decrescente, pois \tfrac1{n+1}<\tfrac1n.
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\tfrac1n=0.
    Pelo teste de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente (Passo 2) mas converge pelo teste alternante (Passo 3), concluímos que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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