Determine a convergência das séries:
sumn=1^infty[(32)^n+(23)^n];

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^inftyl[l(tfrac32r)^n + l(tfrac23r)^nr]. O conteúdo aqui são séries geométricas e vamos precisar do critério de convergência para séries do tipo sum r^n.

Passo 2

Separei a série em duas séries geométricas independentes:
sumn=1^inftyl(tfrac32r)^n + sumn=1^inftyl(tfrac23r)^n

Passo 3

Vou aplicar o critério de séries geométricas. Para sum r^n com n=1 até infty:
• se |r|<1, a série converge e seu somatório é tfracr1-r;
• se |r|>=1, a série diverge (inclusive pelo teste da divergência, pois r^n não tende a zero).

Passo 4

Analisando r1=tfrac32: aqui |r1|=1,5>1. Logo sum(3/2)^n diverge, pois os termos não vão a zero e crescem exponencialmente.

Passo 5

Analisando r2=tfrac23: aqui |r2|=2/3<1. Logo sum(2/3)^n converge e seu valor é
sumn=1^inftyl(tfrac23r)^n = tfrac231 - tfrac23 = 2

Passo 6

Como a soma de duas séries diverge sempre que uma delas diverge, concluímos que a série original diverge.
Portanto, a série sumn=1^inftyl[l(tfrac32r)^n + l(tfrac23r)^nr] diverge.

Resposta

A série diverge.

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