1. Esboce a região plana D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1, e^x <= y <= e

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D = (x,y)inR^2 : 0 <= x <= 1,; e^x <= y <= e
O conteúdo é esboço de conjuntos definidos por desigualdades em x e y. Para isso vamos identificar as curvas e retas que limitam D.

Passo 2

As fronteiras de D são dadas por:
  1. A curva ;y = e^x, para 0 <= x <= 1.
  2. A reta horizontal ;y = e, para 0 <= x <= 1.
  3. As retas verticais ;x=0 e ;x=1, cada uma com y variando entre e^x e e.

Passo 3

Verificamos os pontos de interseção:
  • Em x=0, a curva dá y=e^0=1.
  • Em x=1, a curva dá y=e^1=e, exatamente encontrando a reta y=e.
    Logo os vértices da região são (0,1), (0,e) e (1,e).

Passo 4

Para esboçar no plano cartesiano:
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,1) e desenhe a exponencial crescente de (0,1) até (1,e).
  3. A partir de x=0 até x=1, desenhe a linha horizontal y=e.
  4. Complete o contorno com a reta vertical em x=0 de y=1 a y=e.
  5. A região D é o “fatia” sob y=e, acima de y=e^x, entre x=0 e x=1.

Resposta

A região D é o conjunto de pontos no plano limitado pela curva y=e^x por baixo, pela reta y=e por cima e pelas retas verticais x=0 e x=1.

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