Aqui temos uma lista de exemplos intuitivos, em que fazemos uso de propriedades intuitivas do cálculo de limites.
Sendo p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0, (n in N, an, ldots, a0 todos reais), lim x x0 p(x)=an x0^n+an-1 x0^n-1+cdots+a1 x0+a0=p(x0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o polinômio
p(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0,
valores reais a0,dots,an e ninN, vale
limxto x0p(x)=p(x0)
Para isso, vamos usar as propriedades de limites: limite de constante, de soma, de múltiplo por constante e de produto de limites.

Passo 2

Primeiro, lembramos que
limxto x0a0=a0
pois a0 é constante, e
limxto x0x=x0

Passo 3

Mostramos por indução que
limxto x0x^k = x0^k para todo kinN
Base k=1 já foi visto. Supondo verdadeiro para k-1, então
limxto x0x^k =limxto x0l(xcdot x^,k-1r) =l(limxto x0xr)cdotl(limxto x0x^,k-1r) =x0cdot x0^,k-1 =x0^k

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de múltiplo por constante a cada termo aix^i:
limxto x0 l(aix^ir) = ai,limxto x0x^i = ai,x0^i

Passo 5

Finalmente, usamos a propriedade de soma de limites:
limxto x0p(x) =sumi=0^nlimxto x0l(aix^ir) =sumi=0^nai,x0^i =p(x0)

Resposta

limxto x0p(x)=p(x0)

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