Determine a convergência das séries:
sumn=1^infty(13^n-14^n);

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^inftyl(tfrac13^n-tfrac14^nr). O conteúdo é séries numéricas e vamos usar a propriedade de séries geométricas para resolver.

Passo 2

Vamos separar a soma em duas séries geométricas:
sumn=1^infty13^n-sumn=1^infty14^n

Passo 3

Cada uma é uma série geométrica com primeiro termo a e razão r, onde |r|<1, então sabemos que
sumn=1^inftyar^n-1=a1-r

Passo 4

Para a primeira série temos a=1/3 e r=1/3, logo
sumn=1^infty13^n=tfrac131-tfrac13=1/32/3=12

Passo 5

Para a segunda série temos a=1/4 e r=1/4, portanto
sumn=1^infty14^n=tfrac141-tfrac14=1/43/4=13

Passo 6

Subtraindo os resultados das duas séries, obtemos
sumn=1^inftyl(13^n-14^nr)=12-13=16

Passo 7

Como ambas as séries geométricas são absolutamente convergentes (pois |1/3|<1 e |1/4|<1), a diferença também converge absolutamente.

Resposta

A série converge (absolutamente) e seu valor é tfrac16.

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