Determine o vetor gradiente para as seguintes funções, em seguida interprete geometricamente
f(x, y)=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente da função
f(x,y)=x^2-y^2
Isso envolve cálculo de derivadas parciais e o conceito de gradiente em cálculo multivariável.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =partialpartial xl(x^2-y^2r) =2x,
partial fpartial y =partialpartial yl(x^2-y^2r) =0-2y=-2y

Passo 3

O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais:
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(2x,,-2y)

Passo 4

Geometricamente, nabla f aponta na direção de maior crescimento de f e seu módulo é a taxa máxima de variação. Ele é ortogonal às curvas de nível
(x,y)mid x^2-y^2=c,
que são hipérboles. No ponto (x0,y0), nabla f(x0,y0) é normal à hipérbole que passa por esse ponto.

Resposta

nabla f(x,y)=(2x,,-2y)
Geometricamente, esse vetor é perpendicular às curvas de nível x^2-y^2=c, aponta na direção de maior crescimento de f e tem magnitude |nabla f|=2raizx^2+y^2.

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