Questão 9 Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 2.4 6 ldots ldots(2 n)n!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n!
e pede para determinar se ela converge absolutamente ou diverge. O conteúdo é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o teste da razão, que diz: se
L = limntoinfty an+1an
satisfaz L<1 então a série converge, se L>1 então diverge.

Passo 2

Denotemos
an = 2cdot4cdot6cdots(2n)n!
Primeiro vamos simplificar o numerador 2cdot4cdot6cdots(2n).

Passo 3

Note que
2cdot4cdot6cdots(2n) =2^n,(1cdot2cdot3cdots n) =2^n,n!
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Passo 4

an = 2^n,n!n! = 2^n

Passo 5

Aplicando o teste da razão:
an+1an =2^,n+12^n =2
Como limntoinftyan+1/an=2>1, a série diverge.

Resposta

A série diverge (não converge absolutamente).

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