Determine a convergência das séries:
sumn=1^infty(-1)^n+1 12^n;

Passo 1

Vamos dar uma olhada na série que precisamos analisar: sumn=1^infty (-1)^n+1 12^n. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge, ou seja, se ela tem um valor finito quando somamos todos os seus termos. Para isso, vamos usar dois conceitos básicos de séries: a série geométrica e a série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a série tem o termo (-1)^n+1, o que significa que os sinais dos termos vão alternando entre positivo e negativo. Isso caracteriza uma série alternada. Além disso, o termo 12^n sugere que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é uma fração da potência de 2.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Para que a série geométrica convirja, o valor absoluto de r deve ser menor que 1, ou seja, |r| < 1.

Passo 4

No nosso caso, podemos reescrever a série da seguinte forma:
sumn=1^infty (-1)^n+1 12^n = sumn=1^infty (-12)^n
Aqui, a razão r é -12. Vamos verificar se |r| < 1:
| -12 | = 12 < 1
Como |r| < 1, a série geométrica converge.

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor da soma da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde a é o primeiro termo da série.

Passo 6

Identificando os valores para nossa série:
  • O primeiro termo ( a) quando n=1 é (-1)^1+1 12^1 = 12
  • A razão ( r) é -12
Aplicando na fórmula:
S = 121 - (-12) = 121 + 12 = 1232 = 12 times 23 = 13

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 12^n converge e a sua soma é 13.

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