Vamos dar uma olhada na série que precisamos analisar: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge, ou seja, se ela tem um valor finito quando somamos todos os seus termos. Para isso, vamos usar dois conceitos básicos de séries: a série geométrica e a série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a série tem o termo , o que significa que os sinais dos termos vão alternando entre positivo e negativo. Isso caracteriza uma série alternada. Além disso, o termo sugere que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é uma fração da potência de 2.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum. Para que a série geométrica convirja, o valor absoluto de deve ser menor que 1, ou seja, .
Passo 4
No nosso caso, podemos reescrever a série da seguinte forma:
Aqui, a razão é . Vamos verificar se :
Como |r| < 1, a série geométrica converge.
Passo 5
Agora, vamos determinar o valor da soma da série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde a é o primeiro termo da série.
Passo 6
Identificando os valores para nossa série:
O primeiro termo (a) quando n=1 é (-1)^1+1 12^1 = 12
A razão (r) é -12
Aplicando na fórmula:
S = 121 - (-12) = 121 + 12 = 1232 = 12 times 23 = 13
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n+1 12^n converge e a sua soma é 13.