Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. .
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica na forma de . Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente (ou seja, se a soma chega a um número finito) ou divergente (não chega a um número finito).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como identificar seu termo geral. Além disso, vamos usar o teste da razão para séries geométricas para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para identificar melhor a razão da série geométrica. A série dada é:
Vamos simplificar os termos:
Podemos reescrever como , então:
Agora, a série fica:
Passo 3
Agora que reescrevemos a série, podemos identificar que se trata de uma série geométrica da forma:
onde é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, a razão é . Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos calcular o valor absoluto da razão :
Como 1,25 > 1, o valor absoluto da razão é maior que 1.
Passo 5
De acordo com o teste da razão para séries geométricas:
Se |r| < 1, a série é convergente.
Se |r| >= 1, a série é divergente.
No nosso caso, como |r| = 1,25 >= 1, a série é divergente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-5)^n-1 cdot 4^-n é divergente.