Determine se a série geométrica é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-5)^n-1 cdot 4^-n.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica na forma de sumn=1^infty(-5)^n-1 cdot 4^-n. Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente (ou seja, se a soma chega a um número finito) ou divergente (não chega a um número finito).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como identificar seu termo geral. Além disso, vamos usar o teste da razão para séries geométricas para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para identificar melhor a razão da série geométrica. A série dada é:
sumn=1^infty(-5)^n-1 cdot 4^-n
Vamos simplificar os termos:
(-5)^n-1 cdot 4^-n = (-5)^n-14^n
Podemos reescrever (-5)^n-1 como (-5)^n(-5), então:
(-5)^n(-5) cdot 4^n = (-5)^n4^n cdot 1-5 = 1-5 ( -54 )^n
Agora, a série fica:
1-5 sumn=1^infty ( -54 )^n

Passo 3

Agora que reescrevemos a série, podemos identificar que se trata de uma série geométrica da forma:
sumn=1^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.
No nosso caso, a razão r é -54. Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1, ou seja, |r| < 1.

Passo 4

Vamos calcular o valor absoluto da razão r:
| -54 | = 54 = 1,25
Como 1,25 > 1, o valor absoluto da razão é maior que 1.

Passo 5

De acordo com o teste da razão para séries geométricas:
  • Se |r| < 1, a série é convergente.
  • Se |r| >= 1, a série é divergente.
No nosso caso, como |r| = 1,25 >= 1, a série é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-5)^n-1 cdot 4^-n é divergente.

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