Determine se a série geométrica é convergente ou divergente.
3+34+cdots+34^n-1+cdots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série geométrica 3 + 34 + cdots + 34^n-1 + cdots é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que são somas de termos onde cada termo é uma constante vezes uma razão fixa. Para resolver isso, vamos lembrar das características das séries geométricas e aplicar a regra para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da série geométrica. Em uma série geométrica geral, temos:
a + a cdot r + a cdot r^2 + cdots + a cdot r^n-1 + cdots
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, olhando para a série 3 + 34 + cdots, vemos que:
  • O primeiro termo a é 3.
  • A razão r é 14, pois cada termo é 14 do anterior.

Passo 3

Agora que identificamos a = 3 e r = 14, vamos lembrar das condições para a convergência de uma série geométrica. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, se |r| < 1. Se |r| >= 1, a série diverge.
No nosso caso, temos |r| = |14| = 0,25, que é menor que 1.

Passo 4

Como |r| = 0,25 < 1, podemos concluir que a série geométrica dada é convergente. Além disso, se quisermos encontrar a soma dessa série infinita, usamos a fórmula:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 31 - 14 = 334 = 4

Resposta

A série geométrica 3 + 34 + cdots + 34^n-1 + cdots é convergente e sua soma é igual a 4.

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