Determine se a série geométrica é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série geométrica é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que são somas de termos onde cada termo é uma constante vezes uma razão fixa. Para resolver isso, vamos lembrar das características das séries geométricas e aplicar a regra para determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da série geométrica. Em uma série geométrica geral, temos:
Onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, olhando para a série , vemos que:
O primeiro termo é 3.
A razão é , pois cada termo é do anterior.
Passo 3
Agora que identificamos e , vamos lembrar das condições para a convergência de uma série geométrica. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se . Se , a série diverge.
No nosso caso, temos , que é menor que 1.
Passo 4
Como |r| = 0,25 < 1, podemos concluir que a série geométrica dada é convergente. Além disso, se quisermos encontrar a soma dessa série infinita, usamos a fórmula:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 31 - 14 = 334 = 4
Resposta
A série geométrica 3 + 34 + cdots + 34^n-1 + cdots é convergente e sua soma é igual a 4.