Determine a convergência das séries:
sumn=1^infty 3^nn^2+4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
sumn=1^infty 3^nn^2+4
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da Matemática que ajuda a entender o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série que estamos analisando. Ela é uma soma infinita de termos da forma $ a_n = \frac{3{n}}{n{2}+4} $. Nosso objetivo é ver se, somando todos esses termos, o resultado fica finito (converge) ou vai para o infinito (diverge).

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se limn to infty | an+1an | = L:
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.

Passo 4

Vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando $ n $ tende ao infinito:
n
Para simplificar, percebemos que $ n^{2} $ domina os outros termos nos denominadores e numeradores quando $ n $ é muito grande. Então:
limn to infty 3 cdot n^2+4(n+1)^2+4

Passo 6

O limite $ L = 3 $ é maior que 1. De acordo com o Teste da Razão, se $ L > 1 $, a série diverge, ou seja, não soma para um número finito.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^nn^2+4 diverge.

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