Determine as coordenadas do centro de massa do sistema constituido pelas massas m_{a}=0,3 \mathrm{~kg}, m_{b}=0,4 \mathrm{~kg} e m_{c}=0,2 \mathrm{~kg}, localizadas respectivamente nos pontos de coordenadas, x_{a}=0,2 \mathrm{~m}, y_{a}=0,3 \mathrm{~m} ; x_{b}=0,1 \mathrm{~m}, y_{b}=-0,4 \mathrm{~m} e x_{c}=-0,3 \mathrm{~m}, y_{c}=0,6 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do centro de massa do sistema formado por três massas puntuais.
Dados fornecidos:
m_a=0{,}3\\ \text{kg},\quad x_a=0{,}2\\ \text{m},\quad y_a=0{,}3\\ \text{m},
m_b=0{,}4\\ \text{kg},\quad x_b=0{,}1\\ \text{m},\quad y_b=-0{,}4\\ \text{m},
m_c=0{,}2\\ \text{kg},\quad x_c=-0{,}3\\ \text{m},\quad y_c=0{,}6\\ \text{m}.
O que precisamos achar são as coordenadas \bar{x} e \bar{y} do centro de massa do sistema.

Passo 2

Apresento a fórmula que usamos (é a definição para pontos discretos):
\bar{x}=\frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i},\qquad \bar{y}=\frac{\sum_{i} m_i y_i}{\sum_{i} m_i}.
Explicando de forma simples: cada coordenada do centro de massa é uma média ponderada das coordenadas dos pontos, onde o peso de cada ponto é a sua massa. No numerador somamos todos os produtos massa·coordenada; no denominador somamos todas as massas. As variáveis significam:
  • m_i: massa do i-ésimo ponto,
  • x_i,y_i: coordenadas do i-ésimo ponto,
  • \bar{x},\bar{y}: coordenadas do centro de massa.

Passo 3

Calculemos primeiro a massa total do sistema (denominador das fórmulas):
M=\sum_i m_i = m_a+m_b+m_c = 0{,}3+0{,}4+0{,}2.
Somando:
M=0{,}9\\ \text{kg}.

Passo 4

Agora calculamos o numerador para \bar{x}, isto é \sum_i m_i x_i. Façamos cada termo e depois somamos:
m_a x_a = 0{,}3\cdot 0{,}2 = 0{,}06,
m_b x_b = 0{,}4\cdot 0{,}1 = 0{,}04,
m_c x_c = 0{,}2\cdot(-0{,}3) = -0{,}06.
Somando os três termos:
\sum_i m_i x_i = 0{,}06+0{,}04-0{,}06 = 0{,}04.

Passo 5

Agora dividimos pelo total M para obter \bar{x}:
\bar{x}=\frac{\sum_i m_i x_i}{M}=\frac{0{,}04}{0{,}9}.
Podemos simplificar como fração: 0{,}04=\tfrac{1}{25} e 0{,}9=\tfrac{9}{10}, portanto
\bar{x}=\frac{\tfrac{1}{25}}{\tfrac{9}{10}}=\frac{1}{25}\cdot\frac{10}{9}=\frac{2}{45}\\ \text{m}.
Em decimal isso é aproximadamente
\bar{x}\approx 0{,}04444\\ \text{m}.

Passo 6

Agora fazemos o mesmo para \bar{y}: primeiro os produtos m_i y_i:
m_a y_a = 0{,}3\cdot 0{,}3 = 0{,}09,
m_b y_b = 0{,}4\cdot(-0{,}4) = -0{,}16,
m_c y_c = 0{,}2\cdot 0{,}6 = 0{,}12.
Somando:
\sum_i m_i y_i = 0{,}09 - 0{,}16 + 0{,}12 = 0{,}05.

Passo 7

Dividimos pelo total M para obter \bar{y}:
\bar{y}=\frac{\sum_i m_i y_i}{M}=\frac{0{,}05}{0{,}9}.
Como fração, 0{,}05=\tfrac{1}{20} e 0{,}9=\tfrac{9}{10}, então
\bar{y}=\frac{\tfrac{1}{20}}{\tfrac{9}{10}}=\frac{1}{20}\cdot\frac{10}{9}=\frac{1}{18}\\ \text{m}.
Em decimal:
\bar{y}\approx 0{,}05556\\ \text{m}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: o centro de massa ficou com ambas coordenadas pequenas e positivas, o que faz sentido porque as massas maiores ( m_b e m_a) têm coordenadas x e y próximas da origem e os sinais se compensaram. Sempre faça uma tabela massa–coordenadas no exame para evitar confusão e calcule primeiro os produtos m_i x_i e m_i y_i antes de somar.

Resposta

\displaystyle \bar{x}=\frac{2}{45}\\ \text{m}\approx 0{,}04444\\ \text{m}
\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{18}\\ \text{m}\approx 0{,}05556\\ \text{m}

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