Um tubo em forma de U com área da seção transversal uniforme e aberto para o ar ambiente está parcialmente preenchido com mercúrio. Adiciona-se água em ambos os lados do tubo. Determine
sabendo que
.
(mercúrio)
h.
h.
Passo 1
O enunciado que você enviou diz o seguinte (vou repetir com calma para não perder nada):
- Um tubo em forma de U, de seção transversal uniforme, está parcialmente preenchido com mercúrio.
- Adiciona-se água em ambos os lados do tubo.
- Foi dado
. - Foi dada a densidade do mercúrio
. - Pede-se determinar
.
Você também escreveu no final “h.”, que parece ser uma resposta esperada ou uma anotação sua.
Observação importantíssima: não veio nenhuma figura nem ficou explícito o que exatamente representam
e
(por exemplo: são alturas de água medidas a partir do topo do mercúrio em cada braço? são deslocamentos do mercúrio? estão medidas em relação a um mesmo referencial?). Sem essa definição a situação física é ambígua e não dá para obter um único valor numérico de
.
Passo 2
Antes de resolver, precisamos fixar (ou explicitar) as hipóteses usuais — porque existem várias maneiras de interpretar o enunciado. Vou listar as hipóteses que normalmente se tomam em problemas desse tipo; se alguma não for válida no seu enunciado real, o resultado muda:
- O tubo tem seção transversal uniforme e igual nos dois braços (isso você já informou).
- As alturas
e são as alturas das colunas de água medidos verticalmente a partir da superfície do mercúrio em cada braço até a superfície livre da água (isto é a interpretação mais comum). - Inicialmente (antes de colocar água) o nível do mercúrio nos dois braços estava no mesmo nível (presumimos simetria inicial).
- O equilíbrio final é estático e as pressões a mesma profundidade dentro do mercúrio são iguais (princípio de Pascal/hidroestática).
Se alguma dessas hipóteses não for a do seu enunciado, a conclusão numérica muda.
Passo 3
Vou ensinar o principio físico que precisamos usar (com calma e exemplo): equilíbrio hidrostático.
- Regra fundamental: em um líquido contínuo em equilíbrio, a pressão em dois pontos que estão à mesma profundidade (ou seja, mesma linha horizontal) é igual.
- Quando temos duas colunas diferentes de líquidos sobre um mesmo ponto (ex.: água sobre mercúrio em cada braço), a pressão no ponto comum é soma das contribuições das colunas acima: pressão atmosférica mais
de cada coluna que chega até esse ponto. - Para comparar os dois braços, escolhemos um ponto comum a mesma profundidade dentro do mercúrio e igualamos as pressões vindas dos dois lados.
Agora vamos aplicar isso ao caso padrão (hipóteses do passo anterior). Defina:
-
= densidade da água (usualmente ). -
= densidade do mercúrio (dado: ). - Seja
o deslocamento do nível do mercúrio: o nível no braço 1 sobe (positivo se sobe) e o do braço 2 desce (por conservação de volume do mercúrio, com seção igual o módulo do deslocamento é o mesmo nos dois braços). Assim a diferença de níveis do mercúrio entre os dois braços é .
Escolhemos um ponto P dentro do mercúrio que esteja a mesma profundidade geométrica em relação ao espaço (um ponto ligado por uma linha horizontal que corta os dois ramos). A pressão em P vista pelo caminho do braço 1 é:
onde
é a profundidade dentro do mercúrio do ponto P medida a partir da superfície do mercúrio do braço 1. Pelo caminho do braço 2:
Como escolhemos P à mesma profundidade geométrica,
(se o nível do mercúrio no braço 2 ficou mais alto/baixo, o deslocamento entre as superfícies é
— siga o desenho mental). Igualando
e cancelando
e
:
Simplificando:
Esta é a relação central: a diferença nas alturas de água gera um deslocamento
do mercúrio proporcional à razão das densidades.
Passo 4
Interpretação prática da fórmula obtida:
Observações úteis:
- Se
, então (o mercúrio fica nivelado) — faz sentido. - Se
, então : o mercúrio sobe no lado 1 e baixa no lado 2. - A fórmula relaciona diferença de alturas de água
com o deslocamento do mercúrio . Note que ela não dá diretamente apenas a partir de — falta uma condição extra que fixe ou outra medida geométrica.
Passo 5
Aplicando números (com as hipóteses anteriores) mostraria, por exemplo, que para uma dada diferença
você obtém
. Mas no enunciado só foi dado
e a densidade do mercúrio; falta:
- dizer qual é o deslocamento
do mercúrio (ou a altura absoluta do nível do mercúrio em algum braço), ou - dar uma condição extra ligando
e (por exemplo, uma marca de nível ou volume de água conhecido), ou - especificar que
se refere a outra coisa (por exemplo, deslocamento do mercúrio, não altura da água).
Sem essa informação não há como obter um único valor numérico para.
Passo 6
Sobre o valor que você escreveu “
”:
- Esse número poderia corresponder a uma resposta de outro enunciado (por exemplo, se a densidade do mercúrio fosse
e alguma outra hipótese aplicada). - Com as hipóteses que usei (densidade da água
, interpretação usual de e ausência de outra condição), não é possível demonstrar rigorosamente que . Para chegar a um número fechado é preciso saber exatamente o que representa no desenho do enunciado ou ter uma condição adicional.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
com os dados fornecidos porque o enunciado está ambíguo / falta a figura: não foi explicitado o que exatamente representam
e
nem foi dada uma condição adicional que fixe o deslocamento do mercúrio. Se você me mandar a figura original ou confirmar as hipóteses (por exemplo: “
e
são alturas de água acima do mercúrio; inicialmente o mercúrio estava nivelado; qual é o deslocamento do mercúrio?”), eu resolvo passo a passo e calculo o valor numérico.