Um tubo em forma de U com área da seção transversal uniforme e aberto para o ar ambiente está parcialmente preenchido com mercúrio. Adiciona-se água em ambos os lados do tubo. Determine h_{1} sabendo que h_{2}=1,00 \mathrm{~cm}. \rho (mercúrio) =13,6 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3}
h. -12,6 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado que você enviou diz o seguinte (vou repetir com calma para não perder nada):
  • Um tubo em forma de U, de seção transversal uniforme, está parcialmente preenchido com mercúrio.
  • Adiciona-se água em ambos os lados do tubo.
  • Foi dado \,h_{2}=1{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • Foi dada a densidade do mercúrio \,\rho_{\text{Hg}}=13{,}6\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
  • Pede-se determinar \,h_{1}.
    Você também escreveu no final “h. -12{,}6\\ \mathrm{cm}”, que parece ser uma resposta esperada ou uma anotação sua.
Observação importantíssima: não veio nenhuma figura nem ficou explícito o que exatamente representam \,h_{1} e \,h_{2} (por exemplo: são alturas de água medidas a partir do topo do mercúrio em cada braço? são deslocamentos do mercúrio? estão medidas em relação a um mesmo referencial?). Sem essa definição a situação física é ambígua e não dá para obter um único valor numérico de \,h_{1}.

Passo 2

Antes de resolver, precisamos fixar (ou explicitar) as hipóteses usuais — porque existem várias maneiras de interpretar o enunciado. Vou listar as hipóteses que normalmente se tomam em problemas desse tipo; se alguma não for válida no seu enunciado real, o resultado muda:
  1. O tubo tem seção transversal uniforme e igual nos dois braços (isso você já informou).
  2. As alturas \,h_{1} e \,h_{2} são as alturas das colunas de água medidos verticalmente a partir da superfície do mercúrio em cada braço até a superfície livre da água (isto é a interpretação mais comum).
  3. Inicialmente (antes de colocar água) o nível do mercúrio nos dois braços estava no mesmo nível (presumimos simetria inicial).
  4. O equilíbrio final é estático e as pressões a mesma profundidade dentro do mercúrio são iguais (princípio de Pascal/hidroestática).
    Se alguma dessas hipóteses não for a do seu enunciado, a conclusão numérica muda.

Passo 3

Vou ensinar o principio físico que precisamos usar (com calma e exemplo): equilíbrio hidrostático.
  • Regra fundamental: em um líquido contínuo em equilíbrio, a pressão em dois pontos que estão à mesma profundidade (ou seja, mesma linha horizontal) é igual.
  • Quando temos duas colunas diferentes de líquidos sobre um mesmo ponto (ex.: água sobre mercúrio em cada braço), a pressão no ponto comum é soma das contribuições das colunas acima: pressão atmosférica mais \rho g h de cada coluna que chega até esse ponto.
  • Para comparar os dois braços, escolhemos um ponto comum a mesma profundidade dentro do mercúrio e igualamos as pressões vindas dos dois lados.
Agora vamos aplicar isso ao caso padrão (hipóteses do passo anterior). Defina:
  • \rho_{w} = densidade da água (usualmente 1{,}00\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}).
  • \rho_{\text{Hg}} = densidade do mercúrio (dado: 13{,}6\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}).
  • Seja s o deslocamento do nível do mercúrio: o nível no braço 1 sobe s (positivo se sobe) e o do braço 2 desce s (por conservação de volume do mercúrio, com seção igual o módulo do deslocamento é o mesmo nos dois braços). Assim a diferença de níveis do mercúrio entre os dois braços é 2s.
Escolhemos um ponto P dentro do mercúrio que esteja a mesma profundidade geométrica em relação ao espaço (um ponto ligado por uma linha horizontal que corta os dois ramos). A pressão em P vista pelo caminho do braço 1 é:
P_{1}=P_{\text{atm}}+\rho_{w}g\,h_{1}+\rho_{\text{Hg}}g\,d_{1},
onde d_{1} é a profundidade dentro do mercúrio do ponto P medida a partir da superfície do mercúrio do braço 1. Pelo caminho do braço 2:
P_{2}=P_{\text{atm}}+\rho_{w}g\,h_{2}+\rho_{\text{Hg}}g\,d_{2}.
Como escolhemos P à mesma profundidade geométrica, d_{2}=d_{1}+2s (se o nível do mercúrio no braço 2 ficou mais alto/baixo, o deslocamento entre as superfícies é 2s — siga o desenho mental). Igualando P_{1}=P_{2} e cancelando P_{\text{atm}} e g:
\rho_{w}\,h_{1}+\rho_{\text{Hg}}\,d_{1}=\rho_{w}\,h_{2}+\rho_{\text{Hg}}\,d_{2}=\rho_{w}\,h_{2}+\rho_{\text{Hg}}\,(d_{1}+2s).
Simplificando:
\rho_{w}(h_{1}-h_{2})=2\,\rho_{\text{Hg}}\,s.
Esta é a relação central: a diferença nas alturas de água gera um deslocamento s do mercúrio proporcional à razão das densidades.

Passo 4

Interpretação prática da fórmula obtida:
s=\frac{\rho_{w}}{2\,\rho_{\text{Hg}}}\,(h_{1}-h_{2}).
Observações úteis:
  • Se h_{1}=h_{2}, então s=0 (o mercúrio fica nivelado) — faz sentido.
  • Se h_{1}>h_{2}, então s>0: o mercúrio sobe no lado 1 e baixa no lado 2.
  • A fórmula relaciona diferença de alturas de água (h_{1}-h_{2}) com o deslocamento do mercúrio s. Note que ela não dá diretamente h_{1} apenas a partir de h_{2} — falta uma condição extra que fixe s ou outra medida geométrica.

Passo 5

Aplicando números (com as hipóteses anteriores) mostraria, por exemplo, que para uma dada diferença h_{1}-h_{2} você obtém s. Mas no enunciado só foi dado \,h_{2}=1{,}00\\ \mathrm{cm} e a densidade do mercúrio; falta:
  • dizer qual é o deslocamento s do mercúrio (ou a altura absoluta do nível do mercúrio em algum braço), ou
  • dar uma condição extra ligando h_{1} e s (por exemplo, uma marca de nível ou volume de água conhecido), ou
  • especificar que h_{1} se refere a outra coisa (por exemplo, deslocamento do mercúrio, não altura da água).
    Sem essa informação não há como obter um único valor numérico para \,h_{1}.

Passo 6

Sobre o valor que você escreveu “ -12{,}6\\ \mathrm{cm}”:
  • Esse número poderia corresponder a uma resposta de outro enunciado (por exemplo, se a densidade do mercúrio fosse 12{,}6\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} e alguma outra hipótese aplicada).
  • Com as hipóteses que usei (densidade da água 1{,}00\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}, interpretação usual de h_{1},h_{2} e ausência de outra condição), não é possível demonstrar rigorosamente que h_{1}=-12{,}6\\ \mathrm{cm}. Para chegar a um número fechado é preciso saber exatamente o que h_{1} representa no desenho do enunciado ou ter uma condição adicional.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \,h_{1} com os dados fornecidos porque o enunciado está ambíguo / falta a figura: não foi explicitado o que exatamente representam \,h_{1} e \,h_{2} nem foi dada uma condição adicional que fixe o deslocamento do mercúrio. Se você me mandar a figura original ou confirmar as hipóteses (por exemplo: “ h_{1} e h_{2} são alturas de água acima do mercúrio; inicialmente o mercúrio estava nivelado; qual é o deslocamento do mercúrio?”), eu resolvo passo a passo e calculo o valor numérico.

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