- Determine as coordenadas de centro de massa do sólido de densidade constante, delimitado pelo cilíndro
, com
, e o parabolóide
.
Passo 1
O exercício pede o centro de massa de um sólido de densidade constante, limitado por r=2, z≥0 e o parabolóide z=r². Vamos usar coordenadas cilíndricas para calcular o volume e o momento em z, e daí obter as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Como a densidade é constante e a região é circularmente simétrica em torno do eixo z, as coordenadas x̄ e ȳ são nulas, ou seja, x̄=0 e ȳ=0.
Passo 3
Calculamos o volume V do sólido:
[
V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{2}\int_{0}{r{2}}r,dz,dr,d\theta
=2\pi\int_{0}{2}r\bigl[r{2}\bigr],dr
=2\pi\int_{0}{2}r{3},dr
=2\pi\left[\frac{r{4}}{4}\right]_{0}{2}
=8\pi.
V=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{2}\int_{0}{r{2}}r,dz,dr,d\theta
=2\pi\int_{0}{2}r\bigl[r{2}\bigr],dr
=2\pi\int_{0}{2}r{3},dr
=2\pi\left[\frac{r{4}}{4}\right]_{0}{2}
=8\pi.
Passo 4
Calculamos o momento em relação ao plano xy (∫z dV):
[
M_{z}=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{2}\int_{0}{r{2}}z,r,dz,dr,d\theta
=2\pi\int_{0}{2}r\left[\frac{z{2}}{2}\right]{0}{r{2}},dr
=\pi\int{0}{2}r{5},dr
=\pi\left[\frac{r{6}}{6}\right]_{0}{2}
=\frac{32\pi}{3}.
M_{z}=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{2}\int_{0}{r{2}}z,r,dz,dr,d\theta
=2\pi\int_{0}{2}r\left[\frac{z{2}}{2}\right]{0}{r{2}},dr
=\pi\int{0}{2}r{5},dr
=\pi\left[\frac{r{6}}{6}\right]_{0}{2}
=\frac{32\pi}{3}.
Passo 5
A coordenada z̄ do centro de massa é z̄=M_{z}/V=\tfrac{32\pi/3}{8\pi}=\tfrac{4}{3}. Portanto, as coordenadas do centro de massa são (0,0,4/3).
Resposta
(0,0,\tfrac{4}{3})