Estudar as funções seguintes (dominio, paridade, variações (crescente/decrescente), limitada por cima/baixo) :

Passo 1

Enunciado: estudar domínio, paridade, variações (crescente/decrescente) e limites de f5(x)=lnl(x^2+x+2r). Vamos precisar de análise de inequações quadráticas, propriedades de funções pares/ímpares, derivada e estudo de limites.

Passo 2

Para o domínio, impomos x^2+x+2>0. O discriminante é De, logo x^2+x+2>0 para todo x. Portanto, o domínio é R.

Passo 3

Para a paridade, calculamos f(-x)=lnl((-x)^2+(-x)+2r)=ln(x^2-x+2), que difere de f(x) e de -f(x). Logo, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Calculamos a derivada para estudar a monotonicidade:
f'(x)=2x+1x^2+x+2
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'(x) é o de 2x+1. Zerando 2x+1=0 obtemos x=-tfrac12. Assim, em ( -infty,-tfrac12) temos f'(x)<0 (decrescente) e em ( -tfrac12,+infty) temos f'(x)>0 (crescente), com mínimo em x=-tfrac12.

Passo 5

Para verificar limites e limites de função, note que
limxtopminftyln(x^2+x+2)=+infty,
logo não há limite superior. O valor mínimo ocorre em x=-tfrac12 e vale
fl(-tfrac12r)=lnl(tfrac74r),
portanto a função é limitada inferiormente por ln(7/4) e não é limitada superiormente.

Resposta

Domínio: R; Paridade: nem par nem ímpar; Monotonicidade: decrescente em ( -infty,-tfrac12), crescente em ( -tfrac12,+infty) com mínimo em x=-tfrac12; Limites: limitada inferiormente por ln(7/4), não limitada superiormente.

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