Calcule o limite de cada sequência abaixo pelo seu termo geral

Passo 1

A questão pede calcular limntoinftyl(1+tfrac2nr)^n. O conteúdo envolvido é limite de sequência, logaritmo e exponencial; para isso vamos usar a técnica de logaritmo, l’Hôpital e a continuidade da exponencial.

Passo 2

Definimos an=l(1+tfrac2nr)^n e estudamos bn=ln(an)=nlnl(1+tfrac2nr). Como a função exp é contínua, teremos lim an=exp(lim bn), se o limite de bn existir.

Passo 3

Observamos que lim bn=nln(1+2/n) é forma indeterminada. Reescrevemos como quociente ln(1+2/n)1/n e aplicamos l’Hôpital:
limntoinftyln(1+2/n)1/n =limntoinftyddnln(1+2/n)ddn(1/n) =limntoinfty-2/(n^2+2n)-1/n^2 =limntoinfty2n^2n^2+2n =2
Logo, lim bn=2.

Passo 4

Aplicando a exponencial à conclusão anterior, obtemos lim an=exp(2)=e^2.

Resposta

e^2

Exercícios relacionados