Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação:
x^{2}+y^{2}+12 x-4 y-9=0

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro e o raio da circunferência dada por
x^{2}+y^{2}+12x-4y-9=0.
O conteúdo é geometria analítica de círculos, e vamos usar a técnica de completar quadrados para reescrever a equação na forma padrão
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2}.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
x^{2}+12x \quad\text{e}\quad y^{2}-4y,
e deixamos o termo constante isolado:
x^{2}+12x \;+\; y^{2}-4y \;=\; 9.

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo.
Para x^{2}+12x:
x^{2}+12x = (x+6)^{2} - 36.
Para y^{2}-4y:
y^{2}-4y = (y-2)^{2} - 4.

Passo 4

Substituímos essas identidades na equação original:
(x+6)^{2} - 36 \;+\; (y-2)^{2} - 4 = 9.
Somamos os termos constantes ao lado direito:
(x+6)^{2} + (y-2)^{2} = 9 + 36 + 4 = 49.
Essa é a forma padrão do círculo, onde o centro é (-6,2) e o raio satisfaz r^{2}=49.

Resposta

O centro é (-6,2) e o raio é 7.

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