Calcule as integrais nos exercícios 1-32.
integralpi / 6^5 pi / 6 cosec^2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de csc^2 x no intervalo de dfracpi6 a dfrac5pi6. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração da função csc^2 x e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de csc^2 x é uma função cuja derivada nos dá csc^2 x. A fórmula é:
integral csc^2 x , dx = -cot x + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração. Temos:
integralpi/6^5pi/6 csc^2 x , dx = [ -cot x ]pi/6^5pi/6
Isso significa que vamos calcular - cot ( dfrac5pi6 ) e subtrair - cot ( dfracpi6 ).

Passo 4

Vamos calcular os valores individuais das funções trigonométricas:
Sabemos que:
cot( dfracpi6 ) = raiz3
E usando a identidade cot(pi - x) = -cot x, temos:
cot( dfrac5pi6 ) = cot( pi - dfracpi6 ) = -cot( dfracpi6 ) = -raiz3

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na integral:
- cot( dfrac5pi6 ) + cot( dfracpi6 ) = -(-raiz3) + raiz3 = raiz3 + raiz3 = 2raiz3

Resposta

O valor da integral é 2raiz3.

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