Obtenha os limites:
lim [(x, y) (1,1), x neq y] y+4x^2 y-x y+4 x^2-4 x=18.

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(1,1), excluindo a reta x=y. O conteúdo aqui é limite em multivariáveis e vamos precisar simplificar a expressão através de fatoração para ver se o limite é finito ou diverge.

Passo 2

Observe o denominador e agrupe termos que tenham (x−1):
x^2y - xy + 4x^2 -4x = xy(x-1) + 4x(x-1) = (x-1)l(xy + 4xr) = (x-1)x(y+4)
Como y+4 não se anula perto de (1,1) (fica 5), podemos cancelar esse fator. A expressão original
ainda válida para x≠y fica
y+4(x-1)x(y+4) = 1x(x-1)

Passo 3

Agora o limite de
1x(x-1)
quando (x,y)→(1,1) depende só de x→1. O denominador x(x−1)→1·0=0, então a função diverge (vai para ±∞) e não se obtém valor finito.

Passo 4

Como a expressão simplificada tende a infinito ao aproximar x de 1, concluímos que não existe limite finito neste ponto.

Resposta

O limite não existe (diverge para infinito).

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