Determine as coordenadas de \overrightarrow{P Q} na base canônica de \mathbb{R}^{2}, em que \overrightarrow{P Q} é o vetor com origem P e extremo Q, nos casos abaixo:
P(0,1), Q(2,4).

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas de \overrightarrow{P Q} na base canônica de \mathbb{R}^{2}, sendo \overrightarrow{P Q} o vetor com origem em P e extremo em Q. As informações dadas são:
P(0,1),\qquad Q(2,4).

Passo 2

Entender precisamente o que significa "vetor com origem em P e extremo em Q". Se um vetor tem origem em P e extremo em Q, isso quer dizer que ele “vai” de P até Q. Coordenadas de pontos são pares (x,y); aqui P tem coordenadas (x_P,y_P)=(0,1) e Q tem coordenadas (x_Q,y_Q)=(2,4). Ainda não calculamos nada, só estamos deixando claro o que foi dado.

Passo 3

Lembrando o que é a base canônica de \mathbb{R}^{2}: são os vetores
e_1=(1,0),\qquad e_2=(0,1).
Qualquer vetor (a,b) em \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como
(a,b)=a\,e_1 + b\,e_2.
Portanto, encontrar as coordenadas de \overrightarrow{P Q} na base canônica é achar os dois números (componentes) a e b tais que \overrightarrow{P Q}=a\,e_1+b\,e_2, isto é, \overrightarrow{P Q}=(a,b).

Passo 4

A fórmula geral para as componentes do vetor que vai de P até Q é
\overrightarrow{P Q}=(x_Q-x_P,\; y_Q-y_P).
Explicando por que: imaginemos as coordenadas separadas em eixo x e eixo y. Para deslocar de x_P até x_Q precisamos de um deslocamento de x_Q-x_P no eixo x; analogamente, no eixo y o deslocamento é y_Q-y_P. Esses deslocamentos formam as componentes do vetor na base canônica. Todas as variáveis estão definidas: x_P e y_P são as coordenadas de P; x_Q e y_Q são as coordenadas de Q.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos pontos dados. Pegando os dados do enunciado: x_P=0, y_P=1, x_Q=2, y_Q=4 (estou usando explicitamente os valores fornecidos no enunciado).
Calculemos as componentes uma a uma:
x_Q-x_P = 2 - 0 = 2,
y_Q-y_P = 4 - 1 = 3.

Passo 6

Interpretando o resultado na base canônica: as componentes encontradas significam que
\overrightarrow{P Q} = 2\,e_1 + 3\,e_2.
Em coordenadas (par ordenado) isto é simplesmente (2,3). Ótimo — fizemos passo a passo, sem pular contas.

Resposta

\overrightarrow{P Q}=(2,3)

Exercícios relacionados