Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, pede o valor do limite quando n\to\infty. As informações relevantes são: a fórmula explícita de a_{n} e que n tende para o infinito (assumimos n\in\mathbb{N}, n\to\infty).

Passo 2

Vamos transformar a expressão para ver qual termo fica pequeno quando n cresce. Uma manipulação simples é escrever a_{n} como
a_{n}=1-\frac{1}{n^{3}+1}.
Expliquei: aqui eu só somei e subtraí o mesmo valor para separar um 1 evidente e um termo que tende a zero quando n cresce.

Passo 3

Agora analisamos o termo \dfrac{1}{n^{3}+1}. Note que para todo n\ge 1 vale
0<\frac{1}{n^{3}+1}\le\frac{1}{n^{3}}.
E também \dfrac{1}{n^{3}}\le\dfrac{1}{n} para n\ge1. Como sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
pela desigualdade encadeada (teorema do confronto / squeeze) concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}+1}=0.
Comentário didático: a ideia é que n^{3} cresce muito e faz com que 1/(n^{3}+1) vá para zero; uma maneira rigorosa é comparar com 1/n, que já conhecemos que tende a zero.

Passo 4

Voltando a a_{n}, usando o resultado do passo anterior temos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^{3}+1}\right)=1-0=1.
Aqui usei a propriedade de limites que permite passar limite pela soma/diferença quando os limites individuais existem.

Passo 5

Conclusão final e interpretação intuitiva: a sequência converge porque o segundo termo \dfrac{1}{n^{3}+1} fica cada vez menor e desaparece no limite, deixando apenas o 1. Portanto os termos de a_{n} se aproximam cada vez mais de 1 conforme n cresce.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}a_{n}=1

Exercícios relacionados