Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, pede o valor do limite quando
. As informações relevantes são: a fórmula explícita de
e que
tende para o infinito (assumimos
,
).
Passo 2
Vamos transformar a expressão para ver qual termo fica pequeno quando
cresce. Uma manipulação simples é escrever
como
Expliquei: aqui eu só somei e subtraí o mesmo valor para separar um 1 evidente e um termo que tende a zero quando
cresce.
Passo 3
Agora analisamos o termo
. Note que para todo
vale
E também
para
. Como sabemos que
pela desigualdade encadeada (teorema do confronto / squeeze) concluímos que
Comentário didático: a ideia é que
cresce muito e faz com que
vá para zero; uma maneira rigorosa é comparar com
, que já conhecemos que tende a zero.
Passo 4
Voltando a
, usando o resultado do passo anterior temos
Aqui usei a propriedade de limites que permite passar limite pela soma/diferença quando os limites individuais existem.
Passo 5
Conclusão final e interpretação intuitiva: a sequência converge porque o segundo termo
fica cada vez menor e desaparece no limite, deixando apenas o
. Portanto os termos de
se aproximam cada vez mais de
conforme
cresce.
Resposta
A sequência converge e