Determine as coordenadas do ponto B , simétrico do ponto A(4,2) em relação à reta r, de equação x+3 y+10=0.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(4,2) e a reta r de equação
x + 3y + 10 = 0
Queremos encontrar o ponto B que é simétrico a A em relação a r. Para isso vamos:
  1. Calcular o pé da perpendicular de A em r, chamando-o de H.
  2. Usar que H é ponto médio de AB, ou seja
H = A + B2

Passo 2

Para encontrar H usamos a fórmula do projétil de (x0,y0) na reta ax+by+c=0:
H = l(x0 - aax0 + by0 + ca^2 + b^2,; y0 - bax0 + by0 + ca^2 + b^2r)
Aqui a=1, b=3, c=10 e (x0,y0)=(4,2).

Passo 3

Calculemos ax0 + by0 + c e a^2 + b^2:
ax0 + by0 + c = 1cdot4 + 3cdot2 + 10 = 20, a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 10
Logo
H = l(4 - 1cdottfrac2010,;2 - 3cdottfrac2010r) = (4 - 2,;2 - 6) = (2,,-4)

Passo 4

Como H é ponto médio de AB, vale
2H = A + B Longrightarrow B = 2H - A
Substituindo coordenadas:
B = l(2cdot2 - 4,;2cdot(-4) - 2r) = (4 - 4,,-8 - 2) = (0,,-10)

Resposta

O ponto simétrico é B(0,-10).

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