Questão 20. Considere as matrizes A=[rrrr0 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 & 4 2 & -1 & 2 & 0 2 & 5 & 7 & 8] e b=[r2 2 -5 4]
a) Resolva o sistema A X=b pelo método de Gauss
b) Calcule a inversa de A.
c) Resolva o sistema A X=b usando a inversa.
d) Calcule det A.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a matriz
A= 0 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 & 4 2 & -1 & 2 & 0 2 & 5 & 7 & 8
e o vetor
b=22-54
O conteúdo envolve (i) eliminação de Gauss para resolver AX=b, (ii) Gauss–Jordan para achar A^-1, (iii) uso de A^-1 para resolver o sistema e (iv) cálculo de det A, que pode ser obtido a partir dos pivôs da eliminação.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em [Amid b]:
[rrrr|r 0 & 1 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 4 & 2 2 & -1 & 2 & 0 & -5 2 & 5 & 7 & 8 & 4 ]
  1. Troca R1rightarrow R2.
  2. Elimina coluna 1 em R3,R4 usando R1.
  3. Usa R2 (já com pivô 1 em col 2) para eliminar col 2 em R1,R3,R4.
  4. Usa R3 (pivô 1 em col 3) para eliminar col 3 em R1,R2.
  5. Por fim escala R4 para obter pivô 1 em col 4 e elimina col 4 em R1,R2,R3.
    O sistema reduzido fica
1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 | -11-11

Passo 3

Da forma reduzida obtemos imediatamente, por back-substitution,

Passo 4

Para A^-1 fazemos Gauss–Jordan em [Amid I]. Após operações análogas às do passo 2 mas estendidas à parte direita, chega-se a
[Imid A^-1] com A^-1= -6 & 5 & -1 & -1 -4 & 2 & -1 & 0 4 & -4 & 1 & 1 tfrac12 & 1 & 0 & -tfrac12

Passo 5

Para conferir, calculamos
X=A^-1b = -6&5&-1&-1 -4&2&-1&0 4&-4&1&1 tfrac12&1&0&-tfrac12 22-54 =-11-11,
igual ao resultado do passo 3.

Passo 6

O determinante sai do produto dos pivôs na eliminação do passo 2, levando em conta uma troca de linhas (que inverte o sinal). Os pivôs foram
1,;1,;1,;-2
e houve uma troca de linhas, logo
det A = (-1)cdot(1cdot1cdot1cdot(-2))=2

Resposta

a) X=l(-1,,1,,-1,,1r)^T.
b) A^-1= -6 & 5 & -1 & -1 -4 & 2 & -1 & 0 4 & -4 & 1 & 1 tfrac12 & 1 & 0 & -tfrac12
c) Usando a inversa, X=A^-1b=(-1,1,-1,1)^T.
d) det A=2.

Exercícios relacionados