Questão 20. Considere as matrizes
e
b=[r2 2 -5 4]
a) Resolva o sistema
A X=b pelo método de Gauss
b) Calcule a inversa de
A .
c) Resolva o sistema
A X=b usando a inversa.
d) Calcule
det A .
a) Resolva o sistema
b) Calcule a inversa de
c) Resolva o sistema
d) Calcule
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre a matriz
e o vetor
O conteúdo envolve (i) eliminação de Gauss para resolver
AX=b , (ii) Gauss–Jordan para achar
A^-1 , (iii) uso de
A^-1 para resolver o sistema e (iv) cálculo de
det A , que pode ser obtido a partir dos pivôs da eliminação.
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss em
[Amid b] :
- Troca
.R1rightarrow R2 - Elimina coluna 1 em
usandoR3,R4 .R1 - Usa
(já com pivô 1 em col 2) para eliminar col 2 emR2 .R1,R3,R4 - Usa
(pivô 1 em col 3) para eliminar col 3 emR3 .R1,R2 - Por fim escala
para obter pivô 1 em col 4 e elimina col 4 emR4 .R1,R2,R3
O sistema reduzido fica
Passo 3
Da forma reduzida obtemos imediatamente, por back-substitution,
Passo 4
Para
A^-1 fazemos Gauss–Jordan em
[Amid I] . Após operações análogas às do passo 2 mas estendidas à parte direita, chega-se a
Passo 5
Para conferir, calculamos
igual ao resultado do passo 3.
Passo 6
O determinante sai do produto dos pivôs na eliminação do passo 2, levando em conta uma troca de linhas (que inverte o sinal). Os pivôs foram
e houve uma troca de linhas, logo
Resposta
a)
X=l(-1,,1,,-1,,1r)^T .
b) A^-1= -6 & 5 & -1 & -1 -4 & 2 & -1 & 0 4 & -4 & 1 & 1 tfrac12 & 1 & 0 & -tfrac12
c) Usando a inversa,X=A^-1b=(-1,1,-1,1)^T .
d)det A=2 .
b)
c) Usando a inversa,
d)