Questão 21. Uma matriz quadrada se diz ortogonal se é invertível e .
Determinar, se possível, e de modo que a matriz seja ortogonal.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar x,y,z de modo que
A = 1 & 0 & 0 0 & tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 x & y & z
seja ortogonal. Lembrando que A é ortogonal se e somente se
A^-1 = A^t Long<=ftrightarrow A^tA = I,
o que significa que as linhas (ou colunas) de A formam um sistema ortonormal em R^3.
Passo 2
Já vemos que a primeira linha r1=(1,0,0)
e a segunda linha r2=(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)
têm norma 1 e são mutuamente perpendiculares. Resta impor que a terceira linha r3=(x,y,z)
também seja perpendicular a r1 e a r2.