Questão 21. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e A^-1=A^t.
Determinar, se possível, x, y e z de modo que a matriz [ccc1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 x & y & z] seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x,y,z de modo que
A = 1 & 0 & 0 0 & tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 x & y & z
seja ortogonal. Lembrando que A é ortogonal se e somente se
A^-1 = A^t Long<=ftrightarrow A^tA = I,
o que significa que as linhas (ou colunas) de A formam um sistema ortonormal em R^3.

Passo 2

Já vemos que a primeira linha
r1=(1,0,0)
e a segunda linha
r2=(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2)
têm norma 1 e são mutuamente perpendiculares. Resta impor que a terceira linha
r3=(x,y,z)
também seja perpendicular a r1 e a r2.
Produto escalar com r1:
lang<= r3,r1rang<= = xcdot1 + ycdot0 + zcdot0 = x ;stackrel!=;0 ;Longrightarrow; x=0
Produto escalar com r2:
lang<= r3,r2rang<= = xcdot0 + ycdottfrac1raiz2 + zcdottfrac1raiz2 = y+zraiz2 ;stackrel!=;0 ;Longrightarrow; y+z=0 ;Longrightarrow; z=-y

Passo 3

Falta garantir que r3 tenha norma 1:
|r3|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 0^2 + y^2 + (-y)^2 = 2y^2 ;stackrel!=;1 ;Longrightarrow; 2y^2=1 ;Longrightarrow; y=pm1raiz2,
e daí z=-y
(y,z) = l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) ou (y,z) = l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Resposta

x=0, y=1raiz2, z=-1raiz2 ou x=0, y=-1raiz2, z=1raiz2

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