Determine as coordenadas do ponto onde a reta tangente à curva f(x)=2 x^3-12 x^2+18 x-2 tem inclinação nula.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^3-12x^2+18x-2
e pede o(s) ponto(s) em que a reta tangente tem inclinação nula. Isso significa encontrar x tais que f'(x)=0. Vamos usar a derivação por regra do poder e depois resolver a equação quadrática resultante.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra do poder em cada termo:
f'(x)=ddxl(2x^3r)-ddxl(12x^2r)+ddxl(18xr)-ddx(2) =6x^2-24x+18

Passo 3

Para achar onde a inclinação é nula, resolvemos
f'(x)=6x^2-24x+18=0
Fatorando:
6x^2-24x+18 =6l(x^2-4x+3r) =6(x-1)(x-3)=0,
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x=1ou x=3

Passo 4

Agora encontramos as ordenadas correspondentes calculando f(1) e f(3):
f(1)=2(1)^3-12(1)^2+18(1)-2 =2-12+18-2=6,
f(3)=2(3)^3-12(3)^2+18(3)-2 =54-108+54-2=-2

Resposta

(1,6) e (3,-2)

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