Determine as coordenadas do ponto no qual a reta tangente à curva f(x)=e^x+e^-x2, no ponto em que x=0, intercepta a curva g(x)=e^x-e^-x2.

Passo 1

Temos as funções
f(x)=e^x+e^-x2, g(x)=e^x-e^-x2
e queremos a reta tangente a f em x=0 e o ponto onde essa reta intercepta a curva g. Vamos usar derivadas para achar a equação da reta e depois resolver ,g(x)=reta.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(e^x+e^-x2r) =e^x-e^-x2
Em x=0 isso dá
f'(0)=e^0-e^02=0,
e o valor de f em 0 é
f(0)=1+12=1
Logo a reta tangente em x=0 é horizontal:
y=1

Passo 3

Para achar a interseção, impomos
g(x)=1,
ou seja
e^x-e^-x2=1 Longrightarrow e^x-e^-x=2
Multiplicando por e^x e chamando u=e^x>0, obtemos
u^2-1=2u Longrightarrow u^2-2u-1=0 Longrightarrow u=1+raiz2
(única solução positiva). Daí
x=lnl(1+raiz2r),
e y=1.

Resposta

l(ln(1+raiz2),,1r)

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