Seja f(x)=5+3 cdot(x-1)^2 / 3, x in R. Mostre que f(0)=f(2), e que f^prime(c) neq 0 para todo número real c no intervalo ( 0,2 ). Isto contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=5+3cdot(x-1)^2/3, xinR,
pede para mostrar que f(0)=f(2) e que f'(c)neq0 para todo cin(0,2), e questiona se isso contradiz o Teorema de Rolle. O conteúdo envolvido é o Teorema de Rolle, que exige:
  1. f contínua em [0,2],
  2. f diferenciável em (0,2),
  3. f(0)=f(2).

Passo 2

Calculamos diretamente os valores de f em 0 e em 2:
f(0)=5+3cdot(0-1)^2/3 =5+3cdotl|-1r|^2/3 =5+3cdot1 =8,
f(2)=5+3cdot(2-1)^2/3 =5+3cdot1^2/3 =5+3 =8
Logo, f(0)=f(2)=8.

Passo 3

Para xneq1 usamos a regra da cadeia para obter a derivada:
f'(x) =3cdot23,(x-1)^2/3-1 =2,(x-1)^-1/3
Como (x-1)^-1/3neq0 para todo xneq1, concluímos que
f'(c)neq0para todo cin(0,2)setminus1
Em particular, em qualquer ponto c de (0,2), f'(c) não é zero.

Passo 4

Verificamos agora a hipótese de diferenciabilidade em todo (0,2). No ponto x=1 notamos que
limhto0^-f(1+h)-f(1)h =2limhto0^-(h)^-1/3=-infty, limhto0^+f(1+h)-f(1)h =2limhto0^+h^-1/3=+infty
Esses limites não coincidem nem são finitos, logo f não é diferenciável em x=1.

Passo 5

O Teorema de Rolle exige diferenciabilidade em todo o intervalo aberto (0,2). Como f falha em ser diferenciável em x=1, a condição 2 do teorema não se cumpre. Portanto, não há contradição com o Teorema de Rolle, pois uma de suas hipóteses não está satisfeita.

Resposta

Mostramos que f(0)=f(2)=8 e que f'(c)neq0 para todo cin(0,2), mas f não é diferenciável em c=1. Logo, não contradiz o Teorema de Rolle, pois a hipótese de diferenciabilidade em (0,2) falha.

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