1. O volume de um cilindro circular reto é de . Para a construção da superfície lateral usa-se um material que custa 2,00 d m^{2} çãR $3,00 d m^{2}$. Quais as dimensões do raio e da altura que minimizam o custo da construção?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro circular reto de volume 1:dm^3, pede o raio r e a altura h que minimizam o custo de construção. O custo por área da superfície lateral é de R$2,00 por dm^2 e o das duas bases (tampa e fundo) é de R$3,00 por dm^2. Vamos usar otimização de função de custo com a restrição de volume.

Passo 2

Expressamos primeiro as áreas:
área lateral = 2pi r,h, á
área das duas bases = 2pi r^2 á
Como o custo é proporcional à área, o custo total C é
C = 2cdot(2pi r,h) + 3cdot(2pi r^2) = 4pi r,h ;+;6pi r^2

Passo 3

Impondo a restrição de volume pi r^2 h = 1, isolamos
h = 1pi r^2
e substituímos em C, obtendo
C(r) = 4pi r!l(tfrac1pi r^2r) + 6pi r^2 = 4r + 6pi r^2

Passo 4

Para minimizar C(r), calculamos a derivada e igualamos a zero:
C'(r) = -4,r^-2 + 12pi r Longrightarrow -4,r^-2 + 12pi r = 0
Multiplicando por r^2 vem
12pi,r^3 = 4 Longrightarrow r^3 = 412pi = 13pi

Passo 5

Logo o valor de r que minimiza é
r = l(tfrac13pir)^!1/3
E, pela restrição h = 1/(pi r^2),
h = 1pil(tfrac13pir)^-2/3 = (3pi)^2/3pi = l(tfrac9pir)^!1/3

Resposta

Raio r = l(tfrac13pir)^1/3:dm
Altura h = l(tfrac9pir)^1/3:dm

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