- O volume de um cilindro circular reto é de
. Para a construção da superfície lateral usa-se um material que custa
2,00
d m^{2}
R $3,00
d m^{2}$. Quais as dimensões do raio e da altura que minimizam o custo da construção?
Passo 1
O enunciado dá um cilindro circular reto de volume
, pede o raio
e a altura
que minimizam o custo de construção. O custo por área da superfície lateral é de
por
e o das duas bases (tampa e fundo) é de
por
. Vamos usar otimização de função de custo com a restrição de volume.
Passo 2
Expressamos primeiro as áreas:
Como o custo é proporcional à área, o custo total
é
Passo 3
Impondo a restrição de volume
, isolamos
e substituímos em
, obtendo
Passo 4
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Multiplicando por
vem
Passo 5
Logo o valor de
que minimiza é
E, pela restrição
,
Resposta
Raio
Altura
Altura