Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^(4)+4 y=x^2-3 x+2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) + 4,y = x^2 - 3x + 2
Usamos o Método dos Coeficientes a Determinar, que consiste em dois blocos principais:
1. Encontrar a solução complementar yh da equação homogênea associada
2. Propor um candidato yp para a parte particular e ajustar seus coeficientes para satisfazer a não homogeneidade

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y^(4) + 4,y = 0
A equação característica é
r^4 + 4 = 0 Longrightarrow r^4 = -4 = 4,e^ipi
As raízes são
r = raiz2,e^il(tfracpi4 + tfrackpi2r), k=0,1,2,3,
isto é
r1,2 = 1 pm i, r3,4 = -1 pm i
Em forma real, a solução complementar fica
yh(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr) + e^-xl(C3cos x + C4sin xr)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, propomos
yp(x) = a,x^2 + b,x + c
Então
yp^(4)(x)=0,
de modo que, ao substituir na EDO, obtemos
0 + 4l(a,x^2 + b,x + cr) = x^2 - 3x + 2
Comparando coeficientes de x^2, x e termo independente:
4a = 1, 4b = -3, 4c = 2 Longrightarrow a = tfrac14,; b = -tfrac34,; c = tfrac12
Logo
yp(x) = 14,x^2 ;- ;34,x ;+ ;12

Passo 4

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^xl(C1cos x + C2sin xr) + e^-xl(C3cos x + C4sin xr) + 14x^2 - 34x + 12

Resposta

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