Determine as coordenadas, com precisão
, do ponto
sobre a curva
equidistante dos pontos
e
. Utilize o Método de Newton no procedimento de resolução desse problema com aproximação inicial
. Utilize o erro relativo como critério de parada. Realize, no máximo, 2 iterações. O método de Newton é definido por
.
Passo 1
O enunciado pede o ponto
sobre a curva
que seja equidistante dos pontos
e
. Para isto, vamos igualar as distâncias
e, para facilitar, trabalharemos com as distâncias ao quadrado. Isso gera uma função scalar
cuja raiz corresponde ao
procurado. Resolveremos
pelo Método de Newton, dado por
com aproximação inicial
, critério de parada baseado em erro relativo
e no máximo 2 iterações.
Passo 2
Escrevemos a diferença dos quadrados das distâncias:
Expandindo e simplificando cada parte:
logo
A derivada é
Passo 3
Primeira iteração (
):
x₀ = 1{,}2
x₀ = 1{,}2
Erro relativo
logo continuamos.
Passo 4
Segunda iteração (
):
x₁ ≈ 0{,}5094
x₁ ≈ 0{,}5094
Erro relativo
Como já fizemos 2 iterações, paramos aqui. O valor final de
é
.
Passo 5
A coordenada
é dada por
. Assim,
Resposta
As coordenadas de
, com precisão
, são