Determine as coordenadas, com precisão \epsilon=10^{-4}, do ponto P sobre a curva y=e^{-x} equidistante dos pontos A(1,2) e B(2,1). Utilize o Método de Newton no procedimento de resolução desse problema com aproximação inicial x_{0}=1.2. Utilize o erro relativo como critério de parada. Realize, no máximo, 2 iterações. O método de Newton é definido por x_{k+1}=x_{k}-f\left(x_{k}\right) / f^{\prime}\left(x_{k}\right).

Passo 1

O enunciado pede o ponto P=(x,y) sobre a curva
y = e^{-x}
que seja equidistante dos pontos A(1,2) e B(2,1). Para isto, vamos igualar as distâncias
PA = PB
e, para facilitar, trabalharemos com as distâncias ao quadrado. Isso gera uma função scalar f(x) cuja raiz corresponde ao x procurado. Resolveremos f(x)=0 pelo Método de Newton, dado por
x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)},
com aproximação inicial x_0=1{,}2, critério de parada baseado em erro relativo \epsilon=10^{-4} e no máximo 2 iterações.

Passo 2

Escrevemos a diferença dos quadrados das distâncias:
f(x) = \bigl[(x-1)^2 + (e^{-x}-2)^2\bigr] \;-\;\bigl[(x-2)^2 + (e^{-x}-1)^2\bigr].
Expandindo e simplificando cada parte:
(x-1)^2 - (x-2)^2 = 2x - 3, \quad (e^{-x}-2)^2 - (e^{-x}-1)^2 = -2e^{-x} + 3,
logo
f(x) = 2x - 2e^{-x} = 2\bigl(x - e^{-x}\bigr).
A derivada é
f'(x) = 2\bigl(1 + e^{-x}\bigr).

Passo 3

Primeira iteração ( k=0):
x₀ = 1{,}2
e^{-x_0} = e^{-1.2} \approx 0{,}3010
f(x_0) = 2\bigl(1{,}2 - 0{,}3010\bigr) = 1{,}7980, \quad f'(x_0) = 2\bigl(1 + 0{,}3010\bigr) = 2{,}6020
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1{,}2 - \frac{1{,}7980}{2{,}6020} \approx 0{,}5094.
Erro relativo
\frac{|x_1 - x_0|}{|x_1|} = \frac{|0{,}5094 - 1{,}2|}{0{,}5094} \approx 1{,}356 > 10^{-4},
logo continuamos.

Passo 4

Segunda iteração ( k=1):
x₁ ≈ 0{,}5094
e^{-x_1} = e^{-0.5094} \approx 0{,}6009
f(x_1) = 2\bigl(0{,}5094 - 0{,}6009\bigr) = -0{,}1830, \quad f'(x_1) = 2\bigl(1 + 0{,}6009\bigr) = 3{,}2018
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 0{,}5094 - \frac{-0{,}1830}{3{,}2018} \approx 0{,}5665.
Erro relativo
\frac{|x_2 - x_1|}{|x_2|} = \frac{|0{,}5665 - 0{,}5094|}{0{,}5665} \approx 0{,}1009 > 10^{-4}.
Como já fizemos 2 iterações, paramos aqui. O valor final de x é x_2.

Passo 5

A coordenada y é dada por y = e^{-x_2}. Assim,
y = e^{-0.5665} \approx 0{,}5674.

Resposta

As coordenadas de P, com precisão \epsilon=10^{-4}, são
\bigl(x,y\bigr) \approx \bigl(0{,}5665,\;0{,}5674\bigr).

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