Considerando a necessidade de se obter uma aproximação para a maior raiz da equação x^{2}-2 x-3=0, qual dos métodos de iteração linear abaixo listados garantirá convergência para a raiz desejada? Justifique sua resposta utilizando a condição suficiente de convergência, baseando-se no comportamento da \varphi e sua derivada, de forma que \left|\varphi^{\prime}(\bar{x})\right|<1. Considere x=\phi_{1}(x)=\frac{x^{2}-3}{2}, x=\phi_{2}(x)=\sqrt{3+2 x} ou x=\phi_{3}(x)=\frac{3}{x-2}.
Passo 1
O enunciado pede a maior raiz da equação
x^{2}-2x-3=0
que são x=3 e x=-1. Queremos um método de iteração fixa x=\varphi(x) que converja para x=3. A condição suficiente de convergência é que, na vizinhança de \bar x=3, tenhamos
\bigl|\varphi'(\bar x)\bigr|<1.
Passo 2
Calculemos as derivadas de cada função de iteração: