Considerando a necessidade de se obter uma aproximação para a maior raiz da equação x^{2}-2 x-3=0, qual dos métodos de iteração linear abaixo listados garantirá convergência para a raiz desejada? Justifique sua resposta utilizando a condição suficiente de convergência, baseando-se no comportamento da \varphi e sua derivada, de forma que \left|\varphi^{\prime}(\bar{x})\right|<1. Considere x=\phi_{1}(x)=\frac{x^{2}-3}{2}, x=\phi_{2}(x)=\sqrt{3+2 x} ou x=\phi_{3}(x)=\frac{3}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz da equação
x^{2}-2x-3=0
que são x=3 e x=-1. Queremos um método de iteração fixa x=\varphi(x) que converja para x=3. A condição suficiente de convergência é que, na vizinhança de \bar x=3, tenhamos
\bigl|\varphi'(\bar x)\bigr|<1.

Passo 2

Calculemos as derivadas de cada função de iteração:
\phi_{1}(x)=\frac{x^{2}-3}{2},\quad \phi_{1}'(x)=x,
\phi_{2}(x)=\sqrt{3+2x},\quad \phi_{2}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3+2x}}\cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{3+2x}},
\phi_{3}(x)=\frac{3}{\,x-2\,},\quad \phi_{3}'(x)=-\frac{3}{(x-2)^{2}}.

Passo 3

Avaliamo essas derivadas em \bar x=3:
\phi_{1}'(3)=3,\quad \phi_{2}'(3)=\frac{1}{\sqrt{3+2\cdot3}}=\frac{1}{3},\quad \phi_{3}'(3)=-\frac{3}{(3-2)^{2}}=-3.
Destes valores, apenas \bigl|\phi_{2}'(3)\bigr|=\tfrac{1}{3}<1. Logo, só o método
x=\phi_{2}(x)=\sqrt{3+2x}
satisfaz a condição suficiente \bigl|\varphi'(\bar x)\bigr|<1 e garante convergência para x=3.

Resposta

A única função de iteração fixa que satisfaz \bigl|\varphi'(\bar x)\bigr|<1 em \bar x=3 é
x=\phi_{2}(x)=\sqrt{3+2x}.

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