Encontre a solução do problema abaixo e explique o seu significado físico
\begin{aligned} & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\alpha^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ & u(0, t)=u(10, t)=0, \quad 0<x<10 \\\ & u(x, 0)=0 \text { e } \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0,25 \sin \frac{2 \pi x}{5} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda unidimensional
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\alpha^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}
numa corda de comprimento L=10 com extremidades fixas
u(0,t)=u(10,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0, \qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0{,}25\;\sin\frac{2\pi x}{5}.
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em séries de senos (modos normais) para satisfazer as condições de contorno.

Passo 2

Procuramos autofunções espaciais que satisfaçam
\phi_n''(x)+k_n^2\,\phi_n(x)=0, \qquad \phi_n(0)=\phi_n(10)=0.
As soluções são
\phi_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{10}, \qquad k_n=\frac{n\pi}{10},
e as frequências associadas são
\omega_n=\alpha\,k_n=\frac{\alpha\,n\pi}{10}.

Passo 3

Escrevemos a solução geral como série de modos
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[A_n\sin(\omega_n t)+B_n\cos(\omega_n t)\Bigr]\, \sin\frac{n\pi x}{10}.
Da condição u(x,0)=0 segue B_n=0 para todo n.
Da condição de velocidade inicial
u_t(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\omega_n\, \sin\frac{n\pi x}{10} =0{,}25\;\sin\frac{2\pi x}{5}
vamos projetar em cada modo usando ortogonalidade:
\int_{0}^{10} \sin\frac{n\pi x}{10}\, \sin\frac{m\pi x}{10}\,dx =\begin{cases} 5,&n=m,\\\\ 0,&n\neq m. \end{cases}

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por \sin\frac{n\pi x}{10} e integrando de 0 a 10, obtemos
A_n\,\omega_n\;5 =\int_{0}^{10}0{,}25\;\sin\frac{2\pi x}{5}\, \sin\frac{n\pi x}{10}\,dx.
Mas \sin\frac{2\pi x}{5}=\sin\frac{4\pi x}{10}, então só o termo com n=4 é não-nulo. Para n=4:
\int_{0}^{10}\sin^2\!\frac{4\pi x}{10}\,dx=5,
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A_{4}\,\omega_{4}\;5 =0{,}25\times 5 \quad\Longrightarrow\quad A_{4}=\frac{0{,}25\times5}{5\,\omega_{4}} =\frac{0{,}25}{\omega_{4}} =\frac{0{,}25}{2\alpha\pi/5} =\frac{5}{8\,\alpha\pi}.

Passo 5

Assim a solução final é apenas o quarto modo:
u(x,t) =\;A_{4}\,\sin(\omega_{4}t)\, \sin\frac{4\pi x}{10} =\frac{5}{8\,\alpha\pi}\, \sin\!\Bigl(\frac{2\alpha\pi}{5}\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{2\pi x}{5}\Bigr).
Fisicamente, isso significa que a corda oscila num modo próprio de ordem n=4 (quatro meias-ondas ao longo de 0\le x\le10), com frequência \omega_{4}=2\alpha\pi/5 e amplitude \tfrac{5}{8\alpha\pi}.

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\frac{5}{8\,\alpha\pi}\, \sin\!\Bigl(\frac{2\alpha\pi}{5}\,t\Bigr)\, \sin\!\Bigl(\frac{2\pi x}{5}\Bigr). }
É uma onda estacionária no quarto modo próprio, determinada pela forma inicial de velocidade.

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