Encontre a solução do problema abaixo e explique o seu significado físico
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda unidimensional
numa corda de comprimento
com extremidades fixas
e condições iniciais
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em séries de senos (modos normais) para satisfazer as condições de contorno.
Passo 2
Procuramos autofunções espaciais que satisfaçam
As soluções são
e as frequências associadas são
Passo 3
Escrevemos a solução geral como série de modos
Da condição
segue
para todo
.
Da condição de velocidade inicial
Da condição de velocidade inicial
vamos projetar em cada modo usando ortogonalidade:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e integrando de
a
, obtemos
Mas
, então só o termo com
é não-nulo. Para
:
logo
Passo 5
Assim a solução final é apenas o quarto modo:
Fisicamente, isso significa que a corda oscila num modo próprio de ordem
(quatro meias-ondas ao longo de
), com frequência
e amplitude
.
Resposta
É uma onda estacionária no quarto modo próprio, determinada pela forma inicial de velocidade.