Reordene o sistema abaixo de forma a garantir que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante.
\left\{\begin{array}{ccc} -3 x_{1}+9 x_{2}+2 x_{3} & = & 5 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+7 x_{3} & = & -2 \\\\ 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3} & = & 3 \end{array}\right.
Aplique 1 (uma) iteração do método de Gauss-Seidel para resolver o sistema linear reordenado a partir da condição inicial
Calcule o erro absoluto na norma infinito.
x^{(0)}=[0,0,0]^{T}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} -3x_{1}+9x_{2}+2x_{3}=5,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+7x_{3}=-2,\\\\ 5x_{1}-2x_{2}+x_{3}=3, \end{cases}
pede para reordenar as equações de modo que a matriz de coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante e, em seguida, fazer uma iteração de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=[0,0,0]^{T}. Precisaremos usar o critério de dominância
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|
e a fórmula de Gauss–Seidel:
x_{i}^{(k+1)} =\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{j<i}a_{ij}\,x_{j}^{(k+1)} -\sum_{j>i}a_{ij}\,x_{j}^{(k)}\Bigr).

Passo 2

Verificamos que a permutação de equações (3,1,2), ou seja,
  • 1ª equação passa a ser a original 3,
  • 2ª equação passa a ser a original 1,
  • 3ª equação passa a ser a original 2,
    satisfaz estrita dominância em cada linha:
    linha 1: |5|>|\,-2|+|1|=3,
    linha 2: |9|>|\,-3|+|2|=5,
    linha 3: |7|>|2|+|{-1}|=3.

Passo 3

O sistema reordenado fica
\begin{cases} 5x_{1}-2x_{2}+x_{3}=3,\\\\ -3x_{1}+9x_{2}+2x_{3}=5,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+7x_{3}=-2. \end{cases}

Passo 4

Aplicando uma iteração de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=[0,0,0]^{T}:
Para x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)} =\frac{1}{5}\bigl(3-(-2)\,x_{2}^{(0)}-1\cdot x_{3}^{(0)}\bigr) =\frac{3}{5}=0{,}6.
Para x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)} =\frac{1}{9}\bigl(5-(-3)\,x_{1}^{(1)}-2\cdot x_{3}^{(0)}\bigr) =\frac{5+3\cdot0{,}6}{9} =\frac{5+1{,}8}{9} =\frac{6{,}8}{9} \approx0{,}7556.
Para x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)} =\frac{1}{7}\bigl(-2-2\,x_{1}^{(1)}+1\cdot x_{2}^{(1)}\bigr) =\frac{-2-2\cdot0{,}6+0{,}7556}{7} =\frac{-3{,}2+0{,}7556}{7} =\frac{-2{,}4444}{7} \approx-0{,}3492.
Logo
x^{(1)}\approx \begin{bmatrix} 0{,}6\\\\ 0{,}7556\\\\ -0{,}3492 \end{bmatrix}.

Passo 5

O erro absoluto na norma infinito, tomando x^{(0)}=0, é
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty} =\max\bigl\{|0{,}6|,\;|0{,}7556|,\;|-0{,}3492|\bigr\} =0{,}7556.

Resposta

A primeira iteração produz
x^{(1)}\approx\begin{bmatrix}0{,}6\\\ 0{,}7556\\\ -0{,}3492\end{bmatrix},
e o erro absoluto na norma infinito é
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}\approx0{,}7556.

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