- Determine coordenadas do vetor:
na base:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor
na base formada pelos vetores
e
.
Informações dadas:
- Vetor alvo:
. - Base (vetores que formam a nova base):
e .
O que se quer encontrar: escalares
e
tais que a combinação linear
ou seja, os coeficientes
e
que representam
na base
.
Passo 2
Explicando a ideia (de forma simples): representar um vetor em uma base significa escrever esse vetor como soma de múltiplos dos vetores da base. Cada múltiplo é uma coordenada na nova base.
Aqui queremos
e
tais que
Isto gera um sistema de equações comparando componente por componente: uma equação para a primeira coordenada (x) e outra para a segunda (y). Não é preciso nenhum conceito avançado além disso.
Passo 3
Escrevendo as componentes do lado esquerdo e igualando com o lado direito obtemos o sistema:
Aqui a primeira linha vem das componentes
:
. A segunda linha vem das componentes
:
.]
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo. Soma as duas equações para eliminar
:
Portanto
Agora substitui
em uma das equações para achar
. Usando
:
Fazendo a subtração em frações:
logo
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar): calcular a combinação encontrada
que é exatamente
. Perfeito — os coeficientes estão corretos.
Passo 6
(Um método alternativo, só para aprender mais rápido na prova) Uso de matrizes. Monta-se a matriz
cujas colunas são os vetores da base:
As coordenadas na nova base são
. Calculando
: o determinante é
, então
Multiplicando:
mesmo resultado.]