1. Determine coordenadas do vetor:
(3,2)
na base:
(1,1),(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor (3,2) na base formada pelos vetores (1,1) e (1,-1).
Informações dadas:
  • Vetor alvo: v = (3,2).
  • Base (vetores que formam a nova base): u_1 = (1,1) e u_2 = (1,-1).
O que se quer encontrar: escalares a e b tais que a combinação linear
a\,u_1 + b\,u_2 = v
ou seja, os coeficientes a e b que representam v na base (u_1,u_2).

Passo 2

Explicando a ideia (de forma simples): representar um vetor em uma base significa escrever esse vetor como soma de múltiplos dos vetores da base. Cada múltiplo é uma coordenada na nova base.
Aqui queremos a e b tais que
a(1,1) + b(1,-1) = (3,2).
Isto gera um sistema de equações comparando componente por componente: uma equação para a primeira coordenada (x) e outra para a segunda (y). Não é preciso nenhum conceito avançado além disso.

Passo 3

Escrevendo as componentes do lado esquerdo e igualando com o lado direito obtemos o sistema:
\begin{cases} a + b = 3,\\[4pt] a - b = 2. \end{cases}
Aqui a primeira linha vem das componentes x: a\cdot1 + b\cdot1 = 3. A segunda linha vem das componentes y: a\cdot1 + b\cdot(-1) = 2.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo. Soma as duas equações para eliminar b:
(a+b) + (a-b) = 3 + 2 \quad\Rightarrow\quad 2a = 5.
Portanto
a = \frac{5}{2}.
Agora substitui a em uma das equações para achar b. Usando a+b=3:
b = 3 - a = 3 - \frac{5}{2}.
Fazendo a subtração em frações:
3 = \frac{6}{2},\quad \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2},
logo
b = \frac{1}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar): calcular a combinação encontrada
\frac{5}{2}(1,1) + \frac{1}{2}(1,-1) = \left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2},\\ \frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{6}{2},\frac{4}{2}\right) = (3,2),
que é exatamente v. Perfeito — os coeficientes estão corretos.

Passo 6

(Um método alternativo, só para aprender mais rápido na prova) Uso de matrizes. Monta-se a matriz A cujas colunas são os vetores da base:
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
As coordenadas na nova base são A^{-1}v. Calculando A^{-1}: o determinante é \det A = (1)(-1)-(1)(1)=-2, então
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando:
A^{-1}v = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\cdot3+\tfrac{1}{2}\cdot2\\[4pt]\tfrac{1}{2}\cdot3-\tfrac{1}{2}\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
mesmo resultado.]

Resposta

\left(\tfrac{5}{2},\tfrac{1}{2}\right)

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