- Verifique se:
é linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede para verificar se ela é linear.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- O domínio e contradomínio implícitos são
(vetores ). - A transformação associa a cada vetor
o vetor com primeira componente e segunda componente . - Pergunta explícita: a transformação
satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear?
Passo 2
Lembrete didático: definição de transformação linear.
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente:
Uma aplicação
e
Outra forma equivalente é dizer que
preserva combinações lineares:
para todos
e
. Vou usar as duas propriedades básicas (aditividade e homogeneidade) para checar
.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Sejam
Sejam
Então
Aplicando
em
obtemos:
Desenvolvendo os parênteses:
Agora calcule
e
separadamente:
Somando:
Comparando com
vemos que os componentes coincidem, logo
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Seja e
. Então
. Aplicando
a
:
Seja
Fatorando
em cada componente:
Portanto a homogeneidade também vale.
Passo 5
Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): representação matricial.
A transformação pode ser vista como multiplicação por uma matriz . Escrevendo vetores coluna,
A transformação pode ser vista como multiplicação por uma matriz
Multiplicação matricial é uma operação linear (por construção satisfaz aditividade e homogeneidade), então qualquer transformação dada por uma matriz é linear. Isso fornece outra maneira de ver rapidamente que
é linear.]
Passo 6
Conclusão combinando os resultados: foi verificado explicitamente que
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar; além disso tem representação matricial. Portanto
é linear.
Resposta
Sim,
é linear.