1. Verifique se:
T(x, y)=(2 x-y, x+y)
é linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T(x,y)=(2x-y,\;x+y)
e pede para verificar se ela é linear.
Informações importantes fornecidas:
  • O domínio e contradomínio implícitos são \mathbb{R}^2 (vetores (x,y)).
  • A transformação associa a cada vetor (x,y) o vetor com primeira componente 2x-y e segunda componente x+y.
  • Pergunta explícita: a transformação T satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear?

Passo 2

Lembrete didático: definição de transformação linear.
Uma aplicação T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Outra forma equivalente é dizer que T preserva combinações lineares:
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)
para todos \alpha,\beta\in\mathbb{R} e u,v\in\mathbb{R}^2. Vou usar as duas propriedades básicas (aditividade e homogeneidade) para checar T.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam
u=(x_1,y_1),\qquad v=(x_2,y_2).
Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T em u+v obtemos:
T(u+v)=\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr).
Desenvolvendo os parênteses:
T(u+v)=\bigl(2x_1+2x_2-y_1-y_2,\;x_1+x_2+y_1+y_2\bigr).
Agora calcule T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=(2x_1-y_1,\;x_1+y_1),\qquad T(v)=(2x_2-y_2,\;x_2+y_2).
Somando:
T(u)+T(v)=(2x_1-y_1+2x_2-y_2,\;x_1+y_1+x_2+y_2).
Comparando com T(u+v) vemos que os componentes coincidem, logo
T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(c\,u)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então c\,u=(c x,\;c y). Aplicando T a c\,u:
T(cu)=\bigl(2(c x)-(c y),\;c x+c y\bigr).
Fatorando c em cada componente:
T(cu)=c\bigl(2x-y,\;x+y\bigr)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade também vale.

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo e útil para prova): representação matricial.
A transformação pode ser vista como multiplicação por uma matriz 2\times2. Escrevendo vetores coluna,
T\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Multiplicação matricial é uma operação linear (por construção satisfaz aditividade e homogeneidade), então qualquer transformação dada por uma matriz é linear. Isso fornece outra maneira de ver rapidamente que T é linear.]

Passo 6

Conclusão combinando os resultados: foi verificado explicitamente que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar; além disso tem representação matricial. Portanto T é linear.

Resposta

Sim, T é linear.

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