O enunciado fornece os vetores (1,0,1), (2,0,2) e (0,1,1) e pede para “extrair uma base” desse conjunto.
Isso significa: escolher um subconjunto desses vetores que seja uma base do subespaço gerado por eles — ou seja, um subconjunto que seja linearmente independente e cujo span (fecho linear) seja igual ao span dos três vetores dados.
Passo 2
Lembração rápida (definições importantes, bem mastigadas):
Span: o span de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Por exemplo, o span de (1,0,1) e (0,1,1) é o conjunto de todos os vetores da forma \alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1) com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Linearmente independentes: vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação com todos coeficientes zero. Em símbolos: \alpha v_1+\beta v_2+\cdots=0 implica \alpha=\beta=\cdots=0.
Base de um subespaço: é um conjunto de vetores que (i) são linearmente independentes e (ii) geram o subespaço (o span deles é o subespaço).
Passo 3
Verificar dependência óbvia entre (1,0,1) e (2,0,2). Compare componente a componente:
(2,0,2)=2\,(1,0,1).
Portanto (2,0,2) é múltiplo escalar de (1,0,1) e não acrescenta nova direção — é linearmente dependente com (1,0,1). Logo podemos descartar (2,0,2) ao extrair uma base, porque ele já está no span de (1,0,1).
Passo 4
Verificar se (1,0,1)\) e \((0,1,1)\) são linearmente independentes. Considere a combinação linear que dá o vetor nulo:
\[\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,1)=(0,0,0).
Da primeira equação vem \alpha=0\]. Da segunda vem \(\beta=0. A terceira é então satisfeita automaticamente. Como a única solução é \alpha=\beta=0, os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes.]
Passo 5
Mostrar que os três vetores originais estão no span de \{(1,0,1),(0,1,1)\}:
Já vimos que (2,0,2)=2(1,0,1), portanto (2,0,2) está no span de \{(1,0,1)\}\subseteq\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
Obviamente (1,0,1) e (0,1,1) estão no span do conjunto que os contém.
Assim o span de \{(1,0,1),(0,1,1)\} contém todos os vetores dados, logo gera o mesmo subespaço que o conjunto original.
Passo 6
Conclusão: \{(1,0,1),(0,1,1)\} é um conjunto linearmente independente que gera o mesmo subespaço que os três vetores originais. Portanto é uma base extraída do conjunto dado. O subespaço tem dimensão 2.