Determine a corrente
em um circuito
de malha simples no qual
e a tensão aplicada é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem um circuito RLC em malha simples com os seguintes componentes:
- Indutância $ L = 1 , H $
- Resistência $ R = 1 , \Omega $
- Capacitância $ C = \frac{4}{5} , F $
Além disso, a corrente inicial é $ i(0) = 0 $ e a tensão aplicada $ E(t) $ é dada por:
Vamos precisar usar a teoria de circuitos RLC e resolver uma equação diferencial para encontrar a corrente $ i(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o circuito. Para um circuito RLC série, a Lei de Kirchhoff das Tensões nos dá:
Como é mais fácil trabalhar com derivadas, diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo:
Substituindo os valores de $ L $, $ R $ e $ C $:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos considerar as duas partes de $ E(t) $:
-
Para $ 0 \leq t < \pi $:A equação diferencial fica:
-
Para $ t \geq \pi $:A equação diferencial fica:
Vamos resolver essas duas equações separadamente.
Passo 4
Resolvendo para $ 0 \leq t < \pi $:
A equação é não homogênea:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Assumindo solução da forma $ i_h(t) = e^{rt} $, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
A solução geral da homogênea é:
Agora, encontramos uma solução particular $ i_p(t) $ para a equação não homogênea. Como o lado direito é $ \cos(t) $, tentamos:
Derivando:
Substituindo na equação:
Agrupando termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então:
Portanto, a solução particular é:
A solução geral para $ 0 \leq t < \pi $ é:
Passo 5
Aplicando as condições iniciais:
Sabemos que $ i(0) = 0 $. Vamos aplicar isso na solução geral:
Então:
Também precisamos da condição para a derivada da corrente no instante inicial. Vamos derivar $ i(t) $:
No instante $ t = 0 $:
Como $ i(0) = 0 $, e inicialmente, sem carga na capacitância, podemos assumir que $ \frac{di(0)}{dt} = \frac{E(0)}{L} = \frac{\sin(0)}{1} = 0 $:
Então, a solução para $ 0 \leq t < \pi $ é:
Passo 6
Resolvendo para $ t \geq \pi $:
Após $ t = \pi $, a tensão $ E(t) = 0 $. Assim, a equação fica homogênea:
A solução geral é:
Para encontrar as constantes $ C $ e $ D $, usamos as condições de continuidade em $ t = \pi $. Calculamos $ i(\pi) $ e $ i’(\pi) $ da solução anterior e igualamos à solução para $ t \geq \pi $.
Após realizar esses cálculos, obtemos a expressão final para $ i(t) $ em todo o intervalo.
Resposta
A corrente no circuito é dada por:
onde $ C $ e $ D $ são constantes determinadas pelas condições de continuidade em $ t = \pi $.