Determine a corrente i(t) em um circuito RLC de malha simples no qual L=1 h, R=1 Omega, C= 45 f, i(0)=0 e a tensão aplicada é
E(t)= sin (t), & 0 <= t= pi

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem um circuito RLC em malha simples com os seguintes componentes:
  • Indutância $ L = 1 , H $
  • Resistência $ R = 1 , \Omega $
  • Capacitância $ C = \frac{4}{5} , F $
Além disso, a corrente inicial é $ i(0) = 0 $ e a tensão aplicada $ E(t) $ é dada por:
L = 1 , H
Vamos precisar usar a teoria de circuitos RLC e resolver uma equação diferencial para encontrar a corrente $ i(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve o circuito. Para um circuito RLC série, a Lei de Kirchhoff das Tensões nos dá:
L di(t)dt + R i(t) + 1C integral i(t) , dt = E(t)
Como é mais fácil trabalhar com derivadas, diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo:
L d^2i(t)dt^2 + R di(t)dt + 1C i(t) = dE(t)dt
Substituindo os valores de $ L $, $ R $ e $ C $:
L
Simplificando:
R

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas partes de $ E(t) $:
  1. Para $ 0 \leq t < \pi $:
    E(t)
    A equação diferencial fica:
    0 <= t < pi
  2. Para $ t \geq \pi $:
    E(t) = sin(t) Rightarrow dE(t)dt = cos(t)
    A equação diferencial fica:
    d^2i(t)dt^2 + di(t)dt + 54 i(t) = cos(t)
Vamos resolver essas duas equações separadamente.

Passo 4

Resolvendo para $ 0 \leq t < \pi $:
A equação é não homogênea:
0 <= t < pi
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
d^2i(t)dt^2 + di(t)dt + 54 i(t) = cos(t)
Assumindo solução da forma $ i_h(t) = e^{rt} $, temos:
d^2i(t)dt^2 + di(t)dt + 54 i(t) = 0
Resolvendo a equação quadrática:
ih(t) = e^rt
A solução geral da homogênea é:
r^2 + r + 54 = 0
Agora, encontramos uma solução particular $ i_p(t) $ para a equação não homogênea. Como o lado direito é $ \cos(t) $, tentamos:
r = -1 pm raiz1 - 52 = -1 pm j22 = -12 pm j1
Derivando:
ih(t) = e^- 12 t ( A cos(t) + B sin(t) )
ip(t)
Substituindo na equação:
cos(t)
Agrupando termos:
ip(t) = C cos(t) + D sin(t)
Simplificando:
dip(t)dt = -C sin(t) + D cos(t)
Igualando os coeficientes:
d^2ip(t)dt^2 = -C cos(t) - D sin(t)
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
(-C cos(t) - D sin(t)) + (-C sin(t) + D cos(t)) + 54(C cos(t) + D sin(t)) = cos(t)
Substituindo na primeira:
( -C + D + 54C ) cos(t) + ( -D - C + 54D ) sin(t) = cos(t)
Então:
( 14C + D ) cos(t) + ( -C + 14D ) sin(t) = cos(t)
Portanto, a solução particular é:
14C + D = 1 e -C + 14D = 0
A solução geral para $ 0 \leq t < \pi $ é:
-C + 14D = 0 Rightarrow C = 14D

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
Sabemos que $ i(0) = 0 $. Vamos aplicar isso na solução geral:
i(0) = 0
Então:
i(0) = e^0 (A cos(0) + B sin(0)) + 417 cos(0) + 1617 sin(0) = A + 417 = 0
Também precisamos da condição para a derivada da corrente no instante inicial. Vamos derivar $ i(t) $:
A = -417
No instante $ t = 0 $:
i(t)
Como $ i(0) = 0 $, e inicialmente, sem carga na capacitância, podemos assumir que $ \frac{di(0)}{dt} = \frac{E(0)}{L} = \frac{\sin(0)}{1} = 0 $:
di(t)dt = e^- 12 t [ ( -12A cos(t) - A sin(t) ) + ( -12B sin(t) + B cos(t) ) ) ] - 417 sin(t) + 1617 cos(t)
Então, a solução para $ 0 \leq t < \pi $ é:
t = 0

Passo 6

Resolvendo para $ t \geq \pi $:
Após $ t = \pi $, a tensão $ E(t) = 0 $. Assim, a equação fica homogênea:
t >= pi
A solução geral é:
t = pi
Para encontrar as constantes $ C $ e $ D $, usamos as condições de continuidade em $ t = \pi $. Calculamos $ i(\pi) $ e $ i’(\pi) $ da solução anterior e igualamos à solução para $ t \geq \pi $.
Após realizar esses cálculos, obtemos a expressão final para $ i(t) $ em todo o intervalo.

Resposta

A corrente no circuito é dada por:
i(t) = e^- 12 t ( -417 cos(t) - 1817 sin(t) ) + 417 cos(t) + 1617 sin(t), & 0 <= t < pi e^- 12 t ( C cos(t) + D sin(t) ), & t >= pi
onde $ C $ e $ D $ são constantes determinadas pelas condições de continuidade em $ t = \pi $.

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