Seja
a fronteira orientada positivamente do quadrado de lados delimitados pelas retas
e
. Calcule cada uma das integrais dadas.
;
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de integrais no plano complexo. A gente precisa calcular a integral de $ \frac{z , dz}{2z + 1} $ ao longo da fronteira $ C $ de um quadrado com lados alinhados nas retas $ x = \pm 2 $ e $ y = \pm 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos da Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função $ \frac{z}{2z + 1} $ tem singularidades, ou seja, onde o denominador é zero. Resolvendo $ 2z + 1 = 0 $, encontramos $ z = -\frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto singular $ z = -\frac{1}{2} $ está dentro do contorno $ C $. O quadrado está limitado entre $ x = -2 $ e $ x = 2 $, e $ y = -2 $ e $ y = 2 $. Como $ -\frac{1}{2} $ está dentro desse intervalo, o ponto está dentro do contorno.
Passo 4
Como temos uma única singularidade dentro de $ C $, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos. Esse teorema diz que a integral de uma função holomorfa ao redor de um contorno fechado é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro do contorno.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo da função $ \frac{z}{2z + 1} $ em $ z = -\frac{1}{2} $. Para funções do tipo $ \frac{f(z)}{g(z)} $, onde $ g(z) $ tem simples zeros, o resíduo é dado por $ \frac{f(z_0)}{g’(z_0)} $, onde $ z_0 $ é a singularidade.
Passo 6
Aqui, $ f(z) = z $ e $ g(z) = 2z + 1 $. Derivando $ g(z) $, temos $ g’(z) = 2 $. Avaliando em $ z = -\frac{1}{2} $, fica:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale $ -\frac{\pi i}{2} $.