Determine a corrente
em um circuito
de malha simples no qual
e a tensão aplicada é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente $ i(t) $ em um circuito $ RLC $ de malha simples. A gente tem os valores de $ L = 0,1 , H $, $ R = 2 , \Omega $, $ C = 0,1 , F $, e a corrente inicial $ i(0) = 0 $. A tensão aplicada $ E(t) $ varia com o tempo:
Vamos usar conceitos de circuitos elétricos e equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito $ RLC $ série, a soma das quedas de tensão no resistor, indutor e capacitor é igual à tensão aplicada $ E(t) $. Isso é a aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões.
Passo 3
As quedas de tensão são:
- No resistor: $ V_R = R \cdot i(t) $
- No indutor: $ V_L = L \cdot \frac{di(t)}{dt} $
- No capacitor: $ V_C = \frac{1}{C} \int i(t) , dt $
Passo 4
Montando a equação de Kirchhoff:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Para resolver a equação diferencial, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
Passo 6
Vamos agora considerar os dois intervalos de $ E(t) $:
- Para $ 0 \leq t < 1 $: $ E(t) = 120t $
- Para $ t \geq 1 $: $ E(t) = 0 $
Vamos resolver a equação diferencial para cada intervalo separadamente.
Passo 7
Primeiro intervalo ($ 0 \leq t < 1 $):
A derivada de $ E(t) = 120t $ é $ \frac{dE(t)}{dt} = 120 $.
Substituindo na equação diferencial:
(Observe que $ \frac{1}{C} = \frac{1}{0,1} = 10 $)
Passo 8
Resolvendo a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma $ i(t) = e^{st} $. Substituindo:
Dividindo por $ e^{st} $:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução homogênea é:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo constante é 120, tentamos uma solução particular constante $ i_p(t) = K $.
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular é $ i_p(t) = 12 $.
Passo 10
A solução geral no primeiro intervalo é a soma da solução homogênea com a particular:
Aplicamos a condição inicial $ i(0) = 0 $:
Então, a expressão fica:
Passo 11
Para encontrar $ B $, derivamos $ i(t) $ e aplicamos a derivada inicial. A derivada de $ i(t) $ é:
Aplicando a condição inicial $ \frac{di(0)}{dt} $, que pode ser obtida da equação diferencial com $ t=0 $:
Com $ i(0) = 0 $, temos:
Calculando a derivada segunda e substituindo, encontramos $ B = 0 $.
Passo 12
Então, a solução para $ 0 \leq t < 1 $ é:
Passo 13
Segundo intervalo ($ t \geq 1 $):
Agora, $ E(t) = 0 $, então a equação diferencial fica:
A solução homogênea é:
Passo 14
Precisamos garantir que $ i(t) $ e $ \frac{di(t)}{dt} $ sejam contínuos em $ t = 1 $.
Calculamos $ i(1) $ e $ \frac{di}{dt}(1) $ usando a solução do primeiro intervalo:
Passo 15
Aplicando essas condições na solução do segundo intervalo:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 10:
Subtraindo a segunda equação:
Então, $ C = - \frac{9}{10} D = - \frac{9}{10} \cdot 120 e^{10} = -108 e^{10} $
Passo 16
Portanto, a solução para $ t \geq 1 $ é:
Resposta
A corrente $ i(t) $ no circuito $ RLC $ é dada por: