Determine a corrente i(t) em um circuito RLC de malha simples no qual L=0,1 h, R= 2 Omega, C=0,1 f, i(0)=0 e a tensão aplicada é
E(t)= 120 t, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente $ i(t) $ em um circuito $ RLC $ de malha simples. A gente tem os valores de $ L = 0,1 , H $, $ R = 2 , \Omega $, $ C = 0,1 , F $, e a corrente inicial $ i(0) = 0 $. A tensão aplicada $ E(t) $ varia com o tempo:
i(t)
Vamos usar conceitos de circuitos elétricos e equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito $ RLC $ série, a soma das quedas de tensão no resistor, indutor e capacitor é igual à tensão aplicada $ E(t) $. Isso é a aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões.

Passo 3

As quedas de tensão são:
  • No resistor: $ V_R = R \cdot i(t) $
  • No indutor: $ V_L = L \cdot \frac{di(t)}{dt} $
  • No capacitor: $ V_C = \frac{1}{C} \int i(t) , dt $

Passo 4

Montando a equação de Kirchhoff:
VR + VL + VC = E(t)
Substituindo as expressões:
R cdot i(t) + L cdot di(t)dt + 1C integral i(t) , dt = E(t)

Passo 5

Para resolver a equação diferencial, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
Isso nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
R cdot di(t)dt + L cdot d^2i(t)dt^2 + 1C i(t) = dE(t)dt

Passo 6

Vamos agora considerar os dois intervalos de $ E(t) $:
  1. Para $ 0 \leq t < 1 $: $ E(t) = 120t $
  2. Para $ t \geq 1 $: $ E(t) = 0 $
Vamos resolver a equação diferencial para cada intervalo separadamente.

Passo 7

Primeiro intervalo ($ 0 \leq t < 1 $):
A derivada de $ E(t) = 120t $ é $ \frac{dE(t)}{dt} = 120 $.
Substituindo na equação diferencial:
0 <= t < 1
(Observe que $ \frac{1}{C} = \frac{1}{0,1} = 10 $)

Passo 8

Resolvendo a equação homogênea associada:
0,1 cdot d^2i(t)dt^2 + 2 cdot di(t)dt + 10 cdot i(t) = 0
Procuramos soluções da forma $ i(t) = e^{st} $. Substituindo:
i(t) = e^st
Dividindo por $ e^{st} $:
0,1 s^2 e^st + 2 s e^st + 10 e^st = 0
Resolvendo a equação quadrática:
e^st
Então, a solução homogênea é:
0,1 s^2 + 2 s + 10 = 0

Passo 9

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo constante é 120, tentamos uma solução particular constante $ i_p(t) = K $.
Substituindo na equação diferencial:
ip(t) = K
Então, a solução particular é $ i_p(t) = 12 $.

Passo 10

A solução geral no primeiro intervalo é a soma da solução homogênea com a particular:
i(t) = (A + Bt) e^-10t + 12
Aplicamos a condição inicial $ i(0) = 0 $:
i(0) = 0
Então, a expressão fica:
0 = (A + B cdot 0) e^0 + 12 Rightarrow A + 12 = 0 Rightarrow A = -12

Passo 11

Para encontrar $ B $, derivamos $ i(t) $ e aplicamos a derivada inicial. A derivada de $ i(t) $ é:
B
Aplicando a condição inicial $ \frac{di(0)}{dt} $, que pode ser obtida da equação diferencial com $ t=0 $:
i(t)
Com $ i(0) = 0 $, temos:
i(t)
Calculando a derivada segunda e substituindo, encontramos $ B = 0 $.

Passo 12

Então, a solução para $ 0 \leq t < 1 $ é:
0 <= t < 1

Passo 13

Segundo intervalo ($ t \geq 1 $):
Agora, $ E(t) = 0 $, então a equação diferencial fica:
t >= 1
A solução homogênea é:
E(t) = 0

Passo 14

Precisamos garantir que $ i(t) $ e $ \frac{di(t)}{dt} $ sejam contínuos em $ t = 1 $.
Calculamos $ i(1) $ e $ \frac{di}{dt}(1) $ usando a solução do primeiro intervalo:
i(t)
di(t)dt

Passo 15

Aplicando essas condições na solução do segundo intervalo:
12 = e^-10(C + D cdot 1) Rightarrow C + D = 12 e^10
0 = e^-10(-10C + D -10D) Rightarrow -10C -9D = 0
Resolvendo o sistema:
C + D = 12 e^10
-10C -9D = 0 Rightarrow 10C + 9D = 0
Multiplicando a primeira equação por 10:
10C + 10D = 120 e^10
Subtraindo a segunda equação:
(10C + 10D) - (10C + 9D) = 120 e^10 - 0 Rightarrow D = 120 e^10
Então, $ C = - \frac{9}{10} D = - \frac{9}{10} \cdot 120 e^{10} = -108 e^{10} $

Passo 16

Portanto, a solução para $ t \geq 1 $ é:
t >= 1

Resposta

A corrente $ i(t) $ no circuito $ RLC $ é dada por:
i(t)

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