Resolva o seguinte problema de valor inicial
y^prime prime-6 y^prime+9 y=t^2 e^3 t, y(0)=2, y^prime(0)=17
usando transformada de Laplace.

Passo 1

O problema pede para resolver por transformada de Laplace o PVI: y''-6y'+9y=t^2e^3t com y(0)=2 e y'(0)=17. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento e vamos precisar usar as propriedades de transformada de Laplace, tabelas de transformadas e o teorema do deslocamento no eixo s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que Y(s)=Ly(t), temos as fórmulas:
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s)
E também Lt^2e^3t=2!/(s-3)^3=2/(s-3)^3. Substituindo na ODE transformada:
l(s^2Y-2s-17r)-6l(sY-2r)+9Y=2(s-3)^3

Passo 3

Agrupando os termos em Y e os constantes:
(s^2-6s+9)Y -2s-17+12 =2(s-3)^3, ou seja
(s-3)^2Y =2(s-3)^3+2s+5

Passo 4

É mais conveniente definir u=s-3, então 2s+5=2(u+3)+5=2u+11. Aí
u^2Y =2u^3+2u+11 logo
Y(s)=2u^5+2u+11u^2=2(s-3)^5+2(s-3)+11(s-3)^2

Passo 5

Agora invertemos cada termo usando L^-11/(s-a)^n+1=t^n e^at/n!:
L^-12/(s-3)^5=2t^4e^3t4!=t^4e^3t12, L^-111/(s-3)^2=11te^3t, L^-12/(s-3)=2e^3t

Passo 6

Somando tudo, obtemos a solução do PVI:
y(t)=e^3tl(t^412+11t+2r)

Resposta

y(t)=e{3t}\left(\frac{t4}{12}+11t+2\right)

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