Resolva o seguinte problema de valor inicial
usando transformada de Laplace.
Passo 1
O problema pede para resolver por transformada de Laplace o PVI:
com
e
. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento e vamos precisar usar as propriedades de transformada de Laplace, tabelas de transformadas e o teorema do deslocamento no eixo
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
, temos as fórmulas:
E também
. Substituindo na ODE transformada:
Passo 3
Agrupando os termos em
e os constantes:
Passo 4
É mais conveniente definir
, então
. Aí
Passo 5
Agora invertemos cada termo usando
:
Passo 6
Somando tudo, obtemos a solução do PVI:
Resposta
y(t)=e{3t}\left(\frac{t4}{12}+11t+2\right)