Determine se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral.
2 y^2 e^x y^2 dx+2 xy e^x y^2 dy=0

Passo 1

Temos a equação diferencial 2y^2e^xy^2,dx+2xy e^xy^2,dy=0. O conteúdo aqui é verificar exatidão de equações diferenciais e, se não for exata, reconhecer outras técnicas como separabilidade.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2y^2e^xy^2 e N(x,y)=2xy e^xy^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4ye^xy^2+4xy^3e^xy^2=4y(1+xy^2)e^xy^2
partial Npartial x=2ye^xy^2+2xy^3e^xy^2=2y(1+xy^2)e^xy^2

Passo 3

Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 4

Apesar disso, podemos reescrever a equação em forma separável:
dydx=-MN=-yx

Passo 5

Agora separamos variáveis e integramos:
integral1y,dy=integral-1x,dxLongrightarrowln|y|=-ln|x|+C

Passo 6

Isso leva a ln|xy|=C, ou seja xy=C1.

Resposta

A equação não é exata. A solução geral obtida por separação de variáveis é xy=C.

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