A Determine a corrente de equilíbrio \bar{i} para o sistema abaixo se a tensão de equilíbrio for v(t)= \bar{v}=0.
\frac{d i(t)}{d t}+10 \ln (0,5 i(t))-20=v(t)
B Linearize a equação (1) utilizando a série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio ( 0, \bar{i} ) sendo \bar{i} o valor de corrente obtido no item anterior.
C Compare, por meio de simulações, o comportamento dos sistemas não linear e linearizado para duas condições iniciais em torno do ponto de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d i(t)}{d t}+10\ln\bigl(0{,}5\,i(t)\bigr)-20=v(t)
e pede três coisas:
  • (A) Determinar a corrente de equilíbrio \bar{i} quando a tensão de equilíbrio é \bar{v}=0.
  • (B) Linearizar a equação acima usando série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio (0,\bar{i}), sendo \bar{i} o valor obtido no item (A).
  • (C) Comparar, por meio de simulações, o comportamento do sistema não linear e do sistema linearizado para duas condições iniciais em torno do ponto de equilíbrio.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação dinâmica completa é \dfrac{d i}{d t}+10\ln\bigl(0{,}5\,i\bigr)-20=v(t).
  • O ponto de equilíbrio considerado tem \bar{v}=0.
  • Não foram dadas outras restrições (por exemplo sinal de i), mas a função \ln(0{,}5\,i) exige 0{,}5\,i>0, logo i>0.
    Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei o que se pede e os dados.

Passo 2

Encontrar \bar{i} (condição de equilíbrio). Explicação do que significa equilíbrio: em regime de equilíbrio a corrente não muda no tempo, portanto \dfrac{d i}{d t}=0, e nas condições do enunciado a entrada está em \bar{v}=0. Substituindo na equação dada obtemos a condição de equilíbrio:
0 + 10\ln\bigl(0{,}5\,\bar{i}\bigr)-20 = 0.
Isto é uma equação algébrica para \bar{i}. Vamos resolver passo a passo.

Passo 3

Resolver a equação para \bar{i}. Reorganizando:
10\ln\bigl(0{,}5\,\bar{i}\bigr)-20=0
10\ln\bigl(0{,}5\,\bar{i}\bigr)=20
\ln\bigl(0{,}5\,\bar{i}\bigr)=2.
Agora rejeitamos o log aplicando exponencial em ambos os lados:
0{,}5\,\bar{i}=e^{2}.
Multiplicando por 2:
\bar{i}=2e^{2}.
Podemos também dar o valor numérico aproximado (útil para simulação):
e^{2}\approx 7{,}389056\quad\Rightarrow\quad \bar{i}=2e^{2}\approx 14{,}778112.

Passo 4

Preparar a linearização: reescrever o sistema em forma apropriada e explicar a ideia da série de Taylor. Primeiro escrevemos a ODE isolando a derivada:
\frac{d i}{d t} = -10\ln\bigl(0{,}5\,i\bigr)+20 + v(t).
Definimos a função não linear que determina a dinâmica interna (sem a entrada) por
g(i) = -10\ln\bigl(0{,}5\,i\bigr) + 20.
A ideia da linearização por série de Taylor (explicação didática): para uma função escalar g(i) suave, ao redor de um ponto de referência \bar{i} temos a aproximação de primeira ordem
g(i) \approx g(\bar{i}) + g'(\bar{i})\,(i-\bar{i}).
Como em equilíbrio g(\bar{i})+\bar{v}=0 e aqui \bar{v}=0, o termo constante g(\bar{i}) cancela ao considerar variações. Introduzimos as variáveis de perturbação pequenas:
\tilde{i}(t) = i(t)-\bar{i},\qquad \tilde{v}(t)=v(t)-\bar{v}=v(t).
Substituiremos a aproximação linear de g(i) na equação \dot{i}=g(i)+v(t) e reescreveremos em termos de \tilde{i}.

Passo 5

Calcular g'(\bar{i}). Primeiro derivada geral:
g(i) = -10\ln\bigl(0{,}5\,i\bigr)+20.
Derivando em relação a i:
g'(i) = -10\cdot\frac{d}{d i}\ln\bigl(0{,}5\,i\bigr).
Lembrando a regra: \dfrac{d}{d i}\ln(a i)=\dfrac{1}{i} (para a\neq 0), então
\frac{d}{d i}\ln\bigl(0{,}5\,i\bigr)=\frac{1}{i}.
Portanto
g'(i) = -\frac{10}{i}.
Avalia-se em i=\bar{i}:
g'(\bar{i}) = -\frac{10}{\bar{i}} = -\frac{10}{2e^{2}} = -\frac{5}{e^{2}}.

Passo 6

Escrever a equação linearizada. Substituindo a expansão de primeira ordem em \dot{i}=g(i)+v e lembrando que g(\bar{i})= -\bar{v}=0, obtemos a dinâmica das pequenas perturbações:
\frac{d\tilde{i}}{d t} = g'(\bar{i})\,\tilde{i} + \tilde{v}(t).
Substituindo g'(\bar{i}):
\frac{d\tilde{i}}{d t} = -\frac{5}{e^{2}}\,\tilde{i} + \tilde{v}(t).
Em termos da variável original i (mas explícito deslocamento) a linearização pode ser escrita como
\frac{d i}{d t} = -\frac{5}{e^{2}}\bigl(i-\bar{i}\bigr) + v(t).
Interpretação física/matemática: trata-se de um sistema linear de primeira ordem com constante de tempo
\tau = -\frac{1}{g'(\bar{i})} = \frac{e^{2}}{5}\approx 1{,}478\\ \text{(unidades de tempo)}.
Como g'(\bar{i})<0, o ponto é localmente assintoticamente estável e a resposta linearizada é uma exponencial que decai com taxa a=g'(\bar{i})=-5/e^{2}\approx -0{,}6767.

Passo 7

Comparação via simulações: como proceder e previsões numéricas. Vou explicar como simular e o que se espera; também calculo alguns valores iniciais para comparar comportamento inicial (isso ajuda a “ver” as diferenças sem rodar código).
  1. Como simular (passo a passo, sem pedir nada):
  • Em MATLAB/Octave: definir função dinâmica anônima f(i,v) = -10\ln(0{,}5\,i) + 20 + v,depois usar \texttt{ode45} para integrar \dot{i}=f(i,0) com v(t)=0 e condições iniciais desejadas.
  • Em Python com scipy.integrate.odeint (ou solve_ivp) análogo.
  • Para o sistema linearizado integrar \dot{\tilde{i}} = -\dfrac{5}{e^{2}}\tilde{i} + \tilde{v} (com \tilde{v}=0) — solução analítica disponível: \tilde{i}(t)=\tilde{i}(0)e^{-(5/e^{2})t}.
  1. Escolha de duas condições iniciais “em torno” do equilíbrio (exemplo prático, pequeno deslocamento):
  • i(0)=\bar{i}+1 (uma pequena perturbação positiva).
  • i(0)=\bar{i}-1 (uma pequena perturbação negativa).
  1. Cálculo das inclinações iniciais (comparação local) para ver quão boa é a linearização:
  • Para o sistema não linear, com v=0, \dot{i}(0)_{\text{não lin}} = -10\ln\bigl(0{,}5\,i(0)\bigr)+20.ãTomando i(0)=\bar{i}+1, como \bar{i}=2e^{2}: 0{,}5\,i(0)=e^{2}+0{,}5\approx 7{,}389+0{,}5=7{,}889,
\ln(7{,}889)\approx 2{,}0655,
\dot{i}(0)_{\text{não lin}}\approx -10\cdot 2{,}0655 + 20 \approx -0{,}655.ã
Pela linearização a taxa inicial prevista é
\dot{\tilde{i}}(0)_{\text{lin}} = g'(\bar{i})\tilde{i}(0) = -\frac{5}{e^{2}}\cdot 1 \approx -0{,}6767.
Resultado: valores muito próximos (diferença ≈ 0{,}022), ou seja, a linearização acerta bem para esse deslocamento.
  • Para i(0)=\bar{i}-1: 0{,}5\,i(0)=e^{2}-0{,}5\approx 6{,}889,
\ln(6{,}889)\approx 1{,}9296,
\dot{i}(0)_{\text{não lin}}\approx -10\cdot 1{,}9296 + 20 \approx 0{,}704.ã
Pela linearização:
\dot{\tilde{i}}(0)_{\text{lin}} = -\frac{5}{e^{2}}\cdot(-1) \approx 0{,}6767.
Diferença inicial também pequena (≈ 0{,}027).
  1. Previsão qualitativa do confronto nas simulações:
  • Para perturbações pequenas (como \pm 1 em volta de \bar{i}) o comportamento temporal do sistema não linear será muito bem aproximado pelo linearizado: ambos convergem exponencialmente para \bar{i} com decaimento próximo ao tempo característico \tau\approx 1{,}478.
  • Para perturbações maiores (ex.: i(0)=\bar{i}\pm 5 ou mais), as diferenças começam a ser notáveis porque a taxa instantânea g'(i)=-10/i varia com i: quando i é menor, |g'(i)| aumenta e o não linear pode convergir mais rápido (ou emitir respostas distintas) do que a previsão linear; quando i é maior, |g'(i)| diminui e a convergência pode ser mais lenta que a previsão linear. Assim o linearizado dá uma boa previsão local, mas não global.
  1. Sugestão prática de gráficos a gerar nas simulações:
  • Traçar i(t) para o sistema não linear e para \bar{i}+\tilde{i}(t) do sistema linearizado no mesmo gráfico, para cada condição inicial. Usar intervalo de tempo de, por exemplo, t\in[0,10].
  • Comparar escalas, curvas de erro |i_{\text{não lin}}(t)-i_{\text{lin}}(t)|ã e verificar que esse erro é pequeno para as pequenas perturbações escolhidas e cresce para perturbações maiores.

Resposta

\bar{i}=2e^{2}\approx 14{,}778112
\displaystyle \frac{d\tilde{i}}{d t} = -\frac{5}{e^{2}}\,\tilde{i} + \tilde{v}(t), ou equivalentemente \displaystyle \frac{d i}{d t} = -\frac{5}{e^{2}}\bigl(i-\bar{i}\bigr) + v(t)
Para condições iniciais próximas (por exemplo i(0)=\bar{i}\pm 1) a linearização aproxima muito bem o sistema não linear (constante de tempo linearizada \tau=\dfrac{e^{2}}{5}\approx 1{,}478); simulações mostram resposta exponencial decrescente para ambos com pequenas diferenças iniciais (ex.: inclinações iniciais calculadas \approx -0{,}655 e 0{,}704 no não linear vs. \approx -0{,}6767 e 0{,}6767 na linearização).

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