A Determine a corrente de equilíbrio
para o sistema abaixo se a tensão de equilíbrio for
.
B Linearize a equação (1) utilizando a série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio (
) sendo
o valor de corrente obtido no item anterior.
C Compare, por meio de simulações, o comportamento dos sistemas não linear e linearizado para duas condições iniciais em torno do ponto de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
- (A) Determinar a corrente de equilíbrio
quando a tensão de equilíbrio é . - (B) Linearizar a equação acima usando série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio
, sendo o valor obtido no item (A). - (C) Comparar, por meio de simulações, o comportamento do sistema não linear e do sistema linearizado para duas condições iniciais em torno do ponto de equilíbrio.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação dinâmica completa é
. - O ponto de equilíbrio considerado tem
. - Não foram dadas outras restrições (por exemplo sinal de
), mas a função exige , logo .
Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei o que se pede e os dados.
Passo 2
Encontrar
(condição de equilíbrio). Explicação do que significa equilíbrio: em regime de equilíbrio a corrente não muda no tempo, portanto
, e nas condições do enunciado a entrada está em
. Substituindo na equação dada obtemos a condição de equilíbrio:
Isto é uma equação algébrica para
. Vamos resolver passo a passo.
Passo 3
Resolver a equação para
. Reorganizando:
Agora rejeitamos o log aplicando exponencial em ambos os lados:
Multiplicando por
:
Podemos também dar o valor numérico aproximado (útil para simulação):
Passo 4
Preparar a linearização: reescrever o sistema em forma apropriada e explicar a ideia da série de Taylor. Primeiro escrevemos a ODE isolando a derivada:
Definimos a função não linear que determina a dinâmica interna (sem a entrada) por
A ideia da linearização por série de Taylor (explicação didática): para uma função escalar
suave, ao redor de um ponto de referência
temos a aproximação de primeira ordem
Como em equilíbrio
e aqui
, o termo constante
cancela ao considerar variações. Introduzimos as variáveis de perturbação pequenas:
Substituiremos a aproximação linear de
na equação
e reescreveremos em termos de
.
Passo 5
Calcular
. Primeiro derivada geral:
Derivando em relação a
:
Lembrando a regra:
(para
), então
Portanto
Avalia-se em
:
Passo 6
Escrever a equação linearizada. Substituindo a expansão de primeira ordem em
e lembrando que
, obtemos a dinâmica das pequenas perturbações:
Substituindo
:
Em termos da variável original
(mas explícito deslocamento) a linearização pode ser escrita como
Interpretação física/matemática: trata-se de um sistema linear de primeira ordem com constante de tempo
Como
, o ponto é localmente assintoticamente estável e a resposta linearizada é uma exponencial que decai com taxa
.
Passo 7
Comparação via simulações: como proceder e previsões numéricas. Vou explicar como simular e o que se espera; também calculo alguns valores iniciais para comparar comportamento inicial (isso ajuda a “ver” as diferenças sem rodar código).
- Como simular (passo a passo, sem pedir nada):
- Em MATLAB/Octave: definir função dinâmica anônima
depois usar para integrar com e condições iniciais desejadas. - Em Python com scipy.integrate.odeint (ou solve_ivp) análogo.
- Para o sistema linearizado integrar
(com ) — solução analítica disponível: .
- Escolha de duas condições iniciais “em torno” do equilíbrio (exemplo prático, pequeno deslocamento):
-
(uma pequena perturbação positiva). -
(uma pequena perturbação negativa).
- Cálculo das inclinações iniciais (comparação local) para ver quão boa é a linearização:
- Para o sistema não linear, com
, Tomando , como :
Pela linearização a taxa inicial prevista é
Resultado: valores muito próximos (diferença ≈
), ou seja, a linearização acerta bem para esse deslocamento.
- Para
:
Pela linearização:
Diferença inicial também pequena (≈
).
- Previsão qualitativa do confronto nas simulações:
- Para perturbações pequenas (como
em volta de ) o comportamento temporal do sistema não linear será muito bem aproximado pelo linearizado: ambos convergem exponencialmente para com decaimento próximo ao tempo característico . - Para perturbações maiores (ex.:
ou mais), as diferenças começam a ser notáveis porque a taxa instantânea varia com : quando é menor, aumenta e o não linear pode convergir mais rápido (ou emitir respostas distintas) do que a previsão linear; quando é maior, diminui e a convergência pode ser mais lenta que a previsão linear. Assim o linearizado dá uma boa previsão local, mas não global.
- Sugestão prática de gráficos a gerar nas simulações:
- Traçar
para o sistema não linear e para do sistema linearizado no mesmo gráfico, para cada condição inicial. Usar intervalo de tempo de, por exemplo, . - Comparar escalas, curvas de erro
e verificar que esse erro é pequeno para as pequenas perturbações escolhidas e cresce para perturbações maiores.
Resposta
Para condições iniciais próximas (por exemplo