Obtenha a Transformada Inversa de Laplace para as equações abaixo. Sugestão: Confira seus resultados utilizando a função residue do Matlab ou funções similares de outros pacotes computacionais. F(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}
Passo 1
O enunciado fornece a transformada de Laplace
F(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}
e pede explicitamente a transformada inversa de Laplace, ou seja, encontrar a função no domínio do tempo f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: \;F(s)=\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}.
Pedido: encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t), normalmente para t\ge 0.
Observação: s é a variável complexa do domínio de Laplace; t é a variável de tempo (domínio original) e consideramos sinais causais (t\ge 0).
Passo 2
Ideia de solução (ferramentas básicas que vamos usar, explicadas):
A transformada de Laplace de uma exponencial é
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},
onde a é um número real (ou complexo) e s é a variável de Laplace. Isto significa que termos do tipo \dfrac{1}{s+a} correspondem a e^{-a t} no domínio do tempo.
Usaremos decomposição em frações parciais: como F(s) é uma função racional com pólos simples em s=-1 e s=-2, podemos escrevê-la como soma de termos do tipo \dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}. Depois aplicamos a transformada inversa termo a termo usando a propriedade linear da transformada de Laplace.
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais: suponha
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2},
onde A e B são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2) obtemos
1 = A(s+2)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
1 = (A+B)s + (2A+B).
Como a igualdade vale para todo s, igualamos coeficientes das potências de s:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A+B=1. \end{cases}]
Passo 4
Resolva o sistema para A e B:
Da primeira equação A+B=0 vem B=-A.
Substituindo na segunda: 2A+(-A)=1 então A=1.
Logo B=-A=-1.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.
(Observação rápida: um método alternativo rápido é o “método cover-up”: A=\left.\dfrac{1}{s+2}\right|_{s=-1}=1 e B=\left.\dfrac{1}{s+1}\right|_{s=-2}=-1, o que dá o mesmo resultado.)
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo usando a relação básica \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\dfrac{1}{s+a} e linearidade: