Determine a corrente I como função do tempo t ( medido em segundos), sabendo que I satisfaz a equação diferencial L(d I / d t)+R I=sen 2 t, onde R e L são constantes não nulas.
R: I(t)=RR^2+4 L^2(sen(2 t)-2 LR cos (2 t)-c e^-r t / L)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial envolvendo corrente elétrica. A equação é:
L dIdt + R I = sin(2t)
Onde:
  • $ I(t) $ é a corrente que queremos encontrar em função do tempo $ t $.
  • $ L $ e $ R $ são constantes não nulas (indutância e resistência, respectivamente).
Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especialmente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
dIdt + RL I = sin(2t)L
Aqui, dividimos todos os termos por $ L $ para simplificar.

Passo 3

Agora, identificamos os termos da equação padrão:
dIdt + P(t) I = Q(t)
Onde:
  • $ P(t) = \frac{R}{L} $
  • $ Q(t) = \frac{\sin(2t)}{L} $

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante ($ \mu(t) $), que é fundamental para resolver esse tipo de equação:
mu(t)

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) I(t) $:
e^RL t dIdt + e^RL t RL I = e^RL t sin(2t)L

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Para resolver a integral $ \int e^{\frac{R}{L} t} \sin(2t) dt $, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão. O resultado dessa integral é:
integral e^RL t sin(2t) dt

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
e^RL t I = e^RL tR^2 + 4L^2 ( R sin(2t) - 2L cos(2t) ) + C

Passo 9

Agora, isolamos $ I(t) $ dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{R}{L} t} $:
I(t)

Resposta

A corrente $ I(t) $ em função do tempo é:
I(t)
Onde $ C $ é uma constante que depende das condições iniciais do problema.

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