Determine a corrente I como função do tempo
( medido em segundos), sabendo que I satisfaz a equação diferencial
, onde R e L são constantes não nulas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial envolvendo corrente elétrica. A equação é:
Onde:
- $ I(t) $ é a corrente que queremos encontrar em função do tempo $ t $.
- $ L $ e $ R $ são constantes não nulas (indutância e resistência, respectivamente).
Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, especialmente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, dividimos todos os termos por $ L $ para simplificar.
Passo 3
Agora, identificamos os termos da equação padrão:
Onde:
- $ P(t) = \frac{R}{L} $
- $ Q(t) = \frac{\sin(2t)}{L} $
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante ($ \mu(t) $), que é fundamental para resolver esse tipo de equação:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) I(t) $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Para resolver a integral $ \int e^{\frac{R}{L} t} \sin(2t) dt $, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que é uma integral padrão. O resultado dessa integral é:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Passo 9
Agora, isolamos $ I(t) $ dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{R}{L} t} $:
Resposta
A corrente $ I(t) $ em função do tempo é:
Onde $ C $ é uma constante que depende das condições iniciais do problema.